II - La controverse du nominalisme et du réalisme


A ce stade de notre discussion, il est déjà clair qu'il existe des problèmes philosophiques en relation avec la logique, et il y a au moins une raison pour que ce fait soit clair: à savoir, la difficulté d'obtenir une formulation universellement acceptable des principes généraux que, d'une manière ou d'une autre, tous les logiciens semblent reconnaître. Lorsque nous examinons cette difficulté, d'autres problèmes philosophiques rattachés à la logique se manifestent plus clairement.

Les philosophes et les logiciens qui considèrent les classes, les nombres, et les "entités mathématiques" similaires, comme des manières de leurres ou de chimères, sont habituellement appelés "nominalistes". Un nominaliste n'aime pas dire:

(A) " Pour toutes les classes S, M et P: si tous les S sont M, et si tous les M sont P, alors tous les S sont P. "

Il préfère écrire:

(B) " Ce qui suit devient une expression vraie quels que soient les mots ou les phrases du genre approprié que l'on puisse substituer aux lettres S, M, et P:

"si tous les S sont M, et si tous les M sont P, alors tous les S sont P." "

Le motif de cette préférence est clair, même s'il n'est pas convaincant: le nominaliste ne croit pas réellement que les classes existent et évite ainsi la formulation (A). A la différence des classes, les "phrases" et les "mots" lui semblent relativement "concrets" et il emploie donc la formulation (B).

Il apparaît ainsi qu'une partie du désaccord concernant la formulation "correcte" de la plupart des principes logiques généraux est simplement un reflet du désaccord philosophique relatif à l'existence ou à la non-existence d'"entités mathématiques" telles que les classes.

Indépendamment des mérites de telle ou telle position du débat "nominalisme/réalisme", il est manifeste, cependant, que (B) ne peut pas être réellement préférable à (A). Qu'entend-on, en effet, par "un mot ou une phrase du genre approprié" dans la formulation (B) ? Même en renonçant au problème de la seule explication du "genre approprié" d'un mot ou d'une phrase, nous devons tenir compte du fait que ce sont tous les mots et phrases possibles d'un genre quelconque qui sont envisagés ici; et ces mots et phrases possibles ne sont guère plus "concrets" que les classes.

Ce problème est quelquefois esquivé de différentes façons. L'une d'entre elles consiste à dire que les "phrases" appropriées que l'on peut substituer à S, M ou P sont tous les "prédicats à une place" dans un certain "langage formalisé". Un langage formalisé est défini en spécifiant complètement une grammaire et des significations d'expressions de base. Une règle grammaticale formelle précise quelles expressions d'un tel langage sont des prédicats à une place - i.e., des noms d'une classe, bien qu'un nominaliste ne se risquerait pas à les appeler ainsi de peur d'être foudroyé. Ainsi donc, étant donné un langage formalisé L, la classe des substitutions permises pour les lettres muettes S, M et P dans la proposition

(5) si tous les S sont M, et si tous les M sont P, alors tous les S sont P

peut être définie avec une grande précision; de sorte que la tâche consistant à déterminer si une certaine suite de lettres est ou non une "instance de substitution" ( * ) de (5) peut même être effectuée purement mécaniquement, à l'aide d'un ordinateur par exemple.

Tout ceci finit par satisfaire les scrupules nominalistes, puisqu'ainsi, il semble que le fait d'affirmer la validité de (5) n'est pas du tout parler de "classes", mais simplement dire que toutes les instances de substitutions de (5) selon ce langage L sont vrais, ou encore, que toutes les suites de lettres qui se conforment à un certain critère formel (à savoir, être une instance de substitution de (5) selon le langage formalisé L) sont vrais. Et assurément, des "suites de lettres" sont des choses parfaitement concrètes - mais est-ce si sûr ?

Malheureusement pour le nominaliste, des difficultés importantes et profondes apparaissent. On entend par schéma logique une expression telle que (5) qui est composée de "lettres muettes" comme S, M ou P, et des mots logiques si-alors, tous, quelques, ou, non, identique, est (sont), etc. Depuis Aristote jusqu'à nos jours, de tels schémas ont été utilisés par tous les logiciens dans le but de représenter les principes logiques (toutefois, Aristote se limitait à une classe très restreinte de schémas, tandis que les logiciens modernes étudient tous les schémas possibles analogues à celui que l'on vient de décrire). Un schéma peut être dit "valide", comme celui donné en (5), c'est-à-dire, tel qu'il puisse exprimer un principe logique "correct" (nous devrons encore examiner en quoi consiste cette correction ou cette validité). Mais il peut aussi être déclaré "non valide". C'est ainsi que l'expression

Si certains S sont P, alors tous les S sont P

est un exemple de schéma non valide, de schéma qui n'exprime pas un principe logique correct. Les logiciens de l'Antiquité et du Moyen Age avaient déjà classés un grand nombre de tels schémas en valides ou non valides.

Or, la définition de la validité pose évidemment de profonds problèmes philosophiques. Et celle que nous venons d'attribuer aux nominalistes (un schéma S est valide lorsque toutes les instances de substitution de S selon un certain langage formalisé et particulier L sont vraies), n'est pas satisfaisante à première vue. De fait, quand je dis que (5) est valide, je veux dire que ce schéma est correct, quels que soient les noms de classe que l'on substitue à S, M et P. Si un certain langage formalisé L contenait des noms pour toutes les classes de choses qui puissent être formées, alors, cela reviendrait au même de dire " Toutes les instances de substitutions de S selon ce langage L sont vraies ". Mais un théorème de la théorie des ensembles nous apprend qu'aucun langage L ne peut contenir de noms pour toutes les collections d'objets qui puissent être formées, tout au moins dans le cas où le nombre de ces objets est infini  ( ** ) .

Pour exprimer ceci d'une autre manière, si nous adoptons le point de vue nominaliste, ce n'est pas une seule notion de validité que nous obtenons, mais une série infinie de telles notions: validité selon L 1 , validité selon L 2 , validité selon L 3 , ..., où chacune de ces notions revient simplement à "la vérité de toutes les instances de substitution" selon le langage L i en question.

Nous pourrions essayer d'éviter cela en disant qu'un schéma S est valide uniquement quand toutes ses instances de substitution (selon chaque langage L) sont vraies; mais nous aurions besoin pour cela de la notion de tous les langages formalisés possibles, et cette notion semble plutôt moins "concrète" que celle de "classe".

Deuxièmement, la définition nominaliste de la validité proposée plus haut exige la notion de "vérité". Mais c'est là une notion problématique pour un nominaliste. Normalement, nous ne pensons pas à des objets matériels - par exemple, des suites de lettres effectivement tracées et constituées de petits amas d'encre sur le papier - comme à des choses "vraies" ou "fausses"; c'est plutôt ce que les suites de lettres expriment qui est vrai ou faux. Mais la signification d'une suite de lettres, ou ce qu'une suite de lettres "exprime", est justement le genre d'entité dont le nominaliste veut se débarrasser.

Troisièmement, quand nous parlons de toutes les instances de substitution de (5), même selon un langage particulier L, nous entendons toutes les instances possibles de substitution et non seulement celles qui "existent" au sens nominaliste (comme de petits amas d'encre sur le papier). Dire simplement que ces instances de (5) que l'on arrive à coucher sur le papier sont vraies ne voudrait pas dire que (5) soit valide; car il se pourrait qu'il existe une instance de substitution fausse de (5) que l'on n'ait justement pas écrit. Mais les instances possibles de substitution de (5) - les suites possibles de lettres - ne sont pas des objets beaucoup plus physiques et réels que les classes.

Il semble qu'une question soit ainsi résolue grâce aux précédentes réflexions. Il n'y a aucune raison, en formulant des principes logiques, d'être plus puriste ou de se sentir plus contraint d'éviter une référence à des "entités non physiques" que dans le discours scientifique en général. La référence à des classes de choses - et pas seulement à des choses - est une façon de parler banale et commode. Si le nominaliste veut l'abandonner, il doit nous fournir une autre façon de parler qui fonctionne seulement aussi bien; et ce, pas uniquement en logique pure, mais également dans des sciences aussi empiriques que la physique qui est remplie de références à des entités "non physiques" tels que les vecteurs d'état, les hamiltoniens, les espaces de Hilbert, etc. Si jamais il y réussit, cela affectera notre manière d'exposer tous les principes scientifiques et pas seulement ceux de la logique. Mais en attendant, il n'y a aucune raison de ne pas rester fidèle aux formulations telles que (A), au vu des sérieux problèmes des formulations comme (B). [Comme nous venons de le voir d'ailleurs, en plus d'être insuffisante, (B) n'est même pas réellement nominaliste].

Pour dire cela d'une autre façon, le fait que (A) soit "condamnable" d'après le nominalisme n'est pas véritablement une difficulté de la science de la logique, mais une difficulté de la philosophie nominaliste. Et ce n'est pas du tout à la logique, pas plus qu'à n'importe quelle autre science, de conformer sa façon de parler aux exigences philosophiques du nominalisme; c'est plutôt au nominaliste de nous fournir une réinterprétation satisfaisante des assertions telles que (5), et de toutes les autres propositions qu'énoncent les logiciens, les physiciens, les biologistes, ou l'homme de la rue.

Toutefois, même si nous rejetons le nominalisme parce qu'il exige que nous purgions sur le champ notre langage scientifique de toute référence à des "entités non physiques", nous ne sommes pas autorisés à le rejeter en tant que philosophie. Ceux qui croient qu'en réalité rien ne correspond à des notions comme "une classe", "un nombre" ou "une suite possible de lettres", ou bien que ce qui y correspond provient directement d'une façon de parler des objets matériels usuels, sont libres de continuer à défendre leurs vues; et si nous répugnons à conformer notre langage scientifique courant à leurs exigences, nous ne refusons pas de discuter les problèmes philosophiques soulevés par leurs vues. C'est ce que nous allons faire maintenant.

Nous pouvons commencer en examinant les difficultés diverses que nous venons de mettre en évidence avec la formulation (B), et voir ce que peut leur répondre le nominalisme.

Voici tout d'abord, une ou deux remarques générales. Nelson Goodman, qui est le plus connu des philosophes nominalistes, n'a jamais adopté la définition de la "validité" comme "vérité de toutes les instances de substitution"; celle-ci provient de Hugues Leblanc et Richard Martin ( *** ) . Cependant, Goodman n'a jamais abordé explicitement la question de la définition de la validité logique; j'ai donc pris la liberté de discuter ici la seule tentative qui me soit connue d'une telle définition quasi-nominaliste. En second lieu, Goodman nie que le nominalisme puisse être assimilé à une restriction aux entités "physiques". Mais, bien que le point de vue selon lequel seules les entités physiques (ou des "descriptions mentales" dans une version idéaliste du nominalisme; ou bien encore des "descriptions mentales et des objets physiques" dans un système hybride) sont réelles peut ne pas être celui que Goodman se propose de défendre, c'est ce point de vue que la plupart de gens entendent par "nominalisme", et en tant que nominaliste, cela semble donc un peu artificiel de se dire étranger à de telles opinions. [La distinction entre une restriction à des "entités physiques" et une restriction à des "descriptions mentales" ou à des "descriptions mentales et des entités physiques" ne sera pas discutée ici, car cela n'affecte pas sérieusement la philosophie de la logique].

Le premier argument que nous avions employé contre la formulation (B) consiste en ce que celle-ci remplace en fait notre notion intuitive de "validité" par autant de multiples notions de "validité" qu'il existe de langages formalisés possibles. Certains logiciens ont essayé de faire face à cette difficulté à l'aide de la démarche suivante: soit L 0 un langage formalisé assez riche pour permettre de parler des nombres entiers positifs, et exprimer des notions telles que "x est la somme de y et z" et "x est le produit de y et z". Soit L i un autre langage formalisé quelconque. Soit enfin S un schéma ayant la propriété que toutes les instances de substitution selon L 0 soient vraies; nous appelons ceci, la propriété d'être "valide selon L 0 ", et, d'une manière analogue, nous qualifions un schéma de "valide selon L i " si toutes ses instances de substitution selon L i sont vraies. Alors, toutes les instances de substitution de S selon L i sont vraies; et la preuve de ce fait peut être formalisée dans tout langage assez riche pour contenir à la fois les notions de "vérité selon L 0 " et de "vérité selon L i ". En d'autres termes, si un schéma est valide selon L 0 , il est également valide selon L i (****) . Ainsi, ces logiciens suggèrent que nous définissions simplement la "validité" comme signifiant valide selon un langage du type L 0 . Si un schéma S est valide, on en déduit alors - non pas par définition, mais en vertu du théorème métamathématique mentionné ci-dessus - que chacune des instances de substitution selon L i est vraie, quel que soit le langage L i . Et cette "validité" nous autorisera à affirmer arbitrairement les instances de substitution d'un schéma (comme on le ferait avec la notion intuitive de "schéma valide").

On est tenté de répondre à ceci de cette façon: ce que je veux signifier quand je dis que "S est valide" suggère directement que chaque instance de substitution de S, selon chaque langage formalisé, est vraie. Or, d'après la définition proposée, tout ce que je veux signifier quand je dis que "S est valide", c'est que les instances de substitution de S selon L 0 sont vraies; et le fait que les instances de substitution selon n'importe quel langage soient vraies est uniquement un fait mathématique, et ne participe pas de ce que je veux signifier. Ainsi, la définition proposée de la notion de validité ne réussit absolument pas à saisir la notion intuitive, même si elle est coextensive à cette notion intuitive.

Cependant, cette réponse n'est pas nécessairement irrésistible. Car le logicien nominaliste peut très bien répliquer que ce n'est pas son affaire de saisir la notion "intuitive"; c'est suffisant s'il peut nous convaincre avec une notion qui soit philosophiquement acceptable (pour lui) et qui remplisse la fonction recherchée.

Quoiqu'il en soit, il subsiste que le langage L 0 est un langage qui nécessite lui-même de parler d'"entités mathématiques" (en l'occurrence de nombres), et que la preuve de l'énoncé "si S est valide selon L 0 , alors S est valide selon L i " nécessite de parler d'expressions arbitraires de L i (i.e. de toutes les expressions possibles de L i ). Ainsi, ni le langage L 0 , ni le théorème métamathématique mentionné plus haut ne sont réellement utilisables pour un nominaliste rigoureux (i.e., pour un nominaliste qui renonce à tout recours à des "entités mathématiques").

Le second argument que nous avions utilisé contre la formulation (B) consiste à dire que la notion de "vérité" n'est pas utilisable pour un nominaliste. Toutefois, cette déclaration est extrêmement discutable.

En bref, nous avions argumenté que "vrai" n'a pas de sens quand on l'applique à un objet physique, même si cet objet physique est une phrase inscrite sur le papier; ce n'est pas la phrase physique qui est vraie ou fausse, mais ce que signifie la phrase. Et les choses que veulent dire les phrases, à la différence des phrases ou des inscriptions elles-mêmes, ne sont pas des objets physiques.

Pour un nominaliste, je pense que la réponse naturelle à faire ici serait de distinguer entre les deux énoncés:

(6) S est vrai

et

(7) S est vrai de la façon dont Oscar l'entend au temps t.

Si S est un objet physique (une écriture de phrase), alors (6) n'a pas vraiment grand sens, excepté en tant que formulation elliptique d'un fait tel que (7). Mais (7) représente une relation parfaitement possible et qui peut ou non avoir lieu entre une inscription donnée, un organisme, et un temps. (Je ne me demanderai pas, ici, comment le nominaliste traite d'une référence à des "temps"; peut-être doit-il identifier un "temps" avec une section transversale et tridimensionnelle idoine de l'univers spatio-temporel à quatre dimensions). Pourquoi un nominaliste n'en viendrait-il pas à affirmer que des phrases sont vraies dans le sens où elles représentent la relation qui survient en (7) entre des organismes adéquats et en des temps appropriés ? Il faut reconnaître que cette dernière relation est complexe; et il incombe au réaliste de montrer qu'elle présuppose essentiellement l'existence d'entités non physiques telles que les propositions, les significations, ou tout ce que vous voudrez.

Une autre forme de ce second argument prend l'aspect d'un "appel au langage ordinaire". On prétend alors que l'expression

(8) John formule un énoncé vrai

appartient au "langage ordinaire" de façon parfaitement correcte et dans certaines situations faciles à imaginer. Il se présente alors deux possibilités: (a) ou bien l'expression (8) implique que de tels énoncés existent (en tant qu'entités non physiques), (b) ou bien l'expression (8) ne l'implique pas. Dans le cas (b), il n'y a aucun problème; nous pouvons aussi bien continuer à parler d'"énoncés" (et, pour notre sujet, de "classes", de "nombres", etc.), puisqu'il est convenu qu'une telle référence n'implique pas que des énoncés (ou des nombres, ou des classes) existent comme entités non physiques. Alors le nominalisme est futile, puisque les formes linguistiques dont il souhaite se débarrasser sont philosophiquement inoffensives. Dans le cas (a), puisque l'expression (8) est vraie et qu'elle implique l'existence d'entités non physiques, il s'ensuit que ces entités non physiques existent ! Et le nominalisme est faux ! Ainsi, le nominalisme est-il soit futile, soit faux.

Le nominaliste répond à ceci que ce qu'il désire faire, c'est trouver une "fonction de traduction" qui nous permettrait de remplacer des phrases telles que (8) par des expressions qui ne paraissent même pas impliquer l'existence d'entités non physiques. Il pense que cela aura pour conséquence de nous doter d'une terminologie qui soit conceptuellement moins déroutante et plus révélatrice de la nature de la réalité que la terminologie employée couramment. Il est certain que des expressions telles que (8) sont "philosophiquement inoffensives" si elles sont correctement comprises; mais le problème est de préciser ce qu'est cette compréhension correcte.

Le nominaliste peut appuyer ce dernier souhait en ajoutant qu'il n'est pas nécessaire, de son point de vue, que la "fonction de traduction" préserve la synonymie. Il est suffisant que la suggestion de comprendre des phrases telles que (8) d'après le modèle de leurs traductions nominalistes soit bonne dans le sens où elle conduit à une plus grande clarté.

Ainsi, le fait qu'en "langage ordinaire", les mots "vrai" et "faux" soient normalement appliqués à des "énoncés", ne convainc le nominaliste, ni que les énoncés existent réellement en tant qu'entités non physiques, ni qu'une innovation par rapport au langage ordinaire [par exemple, dans le sens de l'expression (7)] soit une faute intellectuelle.

Nous en venons enfin au dernier "argument". L'expression (7) signifie qu'il existe un énoncé "exprimé" par S à Oscar au temps t, et cet énoncé est vrai; en conséquence, l'expression (7) conduit à une référence déguisée à une entité non physique (ce que S "exprime") et n'est donc pas "réellement" nominaliste.

Alors, ou bien ce dernier argument se réduit au langage ordinaire dont nous discutions plus haut, ou bien il se réduit à la pure et simple revendication qu'en réalité, seuls les énoncés (interprétés comme des entités non physiques exprimées par des phrases) peuvent être "vrais" ou "faux". Or, puisque cette revendication est précisément ce qui est en litige, ce n'est pas là un argument, mais une simple présomption que la question est résolue.

Tous les arguments selon lesquels la notion de vérité n'est pas utilisable pour le nominaliste semblent donc mauvais. Mais par ailleurs, il n'en résulte pas que le nominaliste ait tout à fait droit à cette notion de "vérité". La "vérité" [ou la relation ternaire entre des inscriptions, des organismes et des temps qui se manifeste dans l'expression (7)] est presque une chose primitive, à la manière du terme "jaune", et assurément, le nominaliste doit nous rendre compte de ce qu'est cette notion; et son explication doit être construite avec cohérence et sans les catégories de sa métaphysique. S'il ne peut pas nous donner une telle explication (et quel nominaliste le peut ?), son droit d'utiliser la notion de vérité devient suspect.

Avant que le lecteur (ou le nominaliste) ne réponde trop hâtivement "et toi donc" ( ***** ) , rappelons lui les faits suivants: la notion "intuitive" de vérité semble être inconsistante (cf. les antinomies logiques bien connues relatives à cette notion "intuitive"); mais, étant donné n'importe quel langage formalisé L, il existe un prédicat "vrai selon L" que l'on peut utiliser à toutes fins scientifiques en lieu et place de la vérité intuitive (lorsque les énoncés en question sont exprimés dans le langage L); et ce dernier prédicat "vrai selon L" admet une définition précise en utilisant uniquement le vocabulaire de L lui-même et la théorie des ensembles (1) . Ce n'est pas complètement satisfaisant - on aurait préféré un prédicat unique plutôt qu'une collection infinie de prédicats "vrai selon L 1 ", "vrai selon L 2 ", etc. -, mais ce n'est pas intolérable, et les antinomies constituent une raison sérieuse de douter qu'une quelconque notion de vérité applicable à tous les langages et satisfaisant les exigences de l'intuition puisse être consistante. Le réaliste est ainsi dans la situation non pas d'expliquer la notion intuitive de vérité, mais de fournir tout un lot de notions de rechange qu'il peut précisément définir et utiliser dans tous les contextes scientifiques - et c'est bien ainsi que l'on voulait employer la notion de vérité. Actuellement, tout au moins, le nominaliste ne peut même pas en faire autant.

Notre troisième argument était formulé ainsi: la référence à toutes les phrases d'un langage formalisé - ou encore, à toutes les instances de substitution d'un schéma déterminé - n'est pas une référence aux "inscriptions" (puisqu'on ne peut guère imaginer que toutes les phrases infiniment nombreuses d'un langage formalisé quelconque puissent être effectivement inscrites quelque part); il s'agit plutôt d'une référence à des entités abstraites, par exemple à des "inscriptions possibles", ou, selon certains auteurs, à des "types", c'est-à-dire des propriétés formelles que les inscriptions exemplifient (ces types sont supposés "exister" indépendamment du fait que des inscriptions les exemplifient effectivement ou non; elles sont donc également des entités non physiques). Quand on dit " Toutes les instances de substitution de (S) sont vraies ", on entend même celles de ces instances de substitution que l'on n'a pas réellement écrit. Ainsi, ces "instances de substitution", et particulièrement celles qui sont "potentielles", ne sont pas plus "physiques" que les classes. A ma connaissance, aucune réplique n'existe à cet argument qui pourtant mérite d'être pris en considération.

Notre réexamen des trois arguments n'a pas altéré notre conclusion selon laquelle (B) n'est pas une formulation nominaliste. Cependant, nous avons vu que plus nous creusons les deux premiers de ces arguments, plus complexes et plus techniques ils deviennent.

Nous pouvons résumer la conclusion de ce chapitre en disant qu'actuellement, la référence à des "classes" - ou à quelque chose de tout aussi "non physique" - est indispensable à la science de la logique. La notion de "validité" logique, sur laquelle la science entière s'appuie, ne peut pas, au moins pour le moment, être expliquée d'une manière satisfaisante en termes purement nominalistes.

© Editions de l'Eclat, 1996


* On nomme instance de substitution le résultat d'une substitution autorisée.
[N.d.t.: substitution-instance dans le texte original; Nous utilisons ici le sens moderne habituel du terme instance en logique: cas, cas particulier, exemple. Cf. J. Largeault: Logique mathématique. Textes. Paris: Armand Colin. 1972. p. 62 note 2]

** [N.d.t.: Si tous les éléments d'un ensemble E peuvent être désignés sans ambiguïté par des suites finies d'occurrences de symboles extraits d'un alphabet, alors l'ensemble E est dénombrable. Or, d'après l'argument de la diagonale de Cantor, il existe des ensembles non dénombrables. Cf. S.C. Kleene: Logique mathématique. 1967. Trad. fr. par J. Largeault. Paris: Armand Colin. 1971. pp. 188. sq.]

*** [N.d.t.: Martin R. M.: "A homogeneous system for formal logic". Journal of Symbolic Logic, 8, 1943. pp. 1-23. voir également: Quine. W.V.O.: "Existence et quantification" in Relativité de l'ontologie et autres essais. 1969. Trad. fr. par J. Largeault. Paris: Aubier-Montaigne, 1977]

**** [N.d.t.: D'après le théorème de Löwenheim (1915): si une proposition est valide dans un domaine infini dénombrable, elle est valide dans n'importe quel domaine non-vide.]

***** [N.d.t.: tu quoque dans le texte original.]

1 - Cela a été démontré par Tarski. Pour un exposé semi-vulgarisé de cette démonstration, consulter: "The Semantic Conception of Truth" in Readings in Philosophical Analysis, ed. H. Feigl and W. Sellars (New-York, 1949), pp. 52-84.
[N.d.t.: trad. fr. "La conception sémantique de la vérité et les fondements de la sémantique" in Tarski A.: Logique, sémantique, métamathématique. 1923-1944. trad. sous la dir. de G. Granger. Paris: Armand Colin, 1974, tome 2. pp. 267-305]


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Philosophie de la logique de Hilary Putnam traduction Patrick Peccatte