III - La controverse du nominalisme et du réalisme
et la logique
traduction française par Patrick Peccatte

Philosophy of Logic d'Hilary Putnam

La controverse du nominalisme et du réalisme est ancienne, et il est intéressant d'examiner la façon dont elle est devenue liée à la philosophie de la logique. Depuis l'époque d'Aristote, la logique élémentaire a formulé des principes tels que (2), (4) ou (5); elle a également dressé la liste de modèles d'inférences valides comme (1) et affirmé l'inconsistance d'expressions telles que (3). La "théorie de la quantification" - c'est le nom que l'on donne à la branche correspondante de la logique moderne - encore appelée "logique du premier ordre avec égalité" possède une envergure beaucoup plus grande que la logique d'Aristote; mais, comme il est facile de s'en rendre compte, le sujet de ses préoccupations est similaire.

Ses symboles de base sont les suivants:

(i) "Px" pour "x est P", et, de même, "Pxy" pour "x et y supportent la relation P", "Pxyz" pour "x, y, z sont liés par la relation P", etc.

(ii) "(x)" [lire "pour tout x"] indique que chaque entité x satisfait une condition; ainsi, "(x) Px" signifie "chaque entité x est P".

(iii) "( $ x)" [lire "il existe un x tel que"] indique que certaines entités x (au moins une) satisfont une condition; ainsi "( $ x) Px" signifie "il existe une entité x qui soit P".

(iv) "=" [lire "est identique à", "est égal à"] indique l'identité; ainsi, "x=y" signifie "x est identique à y", "x et y sont une seule et même entité".

(v) " Ù " pour "et", " Ú " pour "ou", "~" pour "non". Par exemple,
"(Px
Ú ~Qx) Ù Rx" signifie "x est P ou x n'est pas Q; et x est R".

De plus, les symboles É [lire "si... alors"] et º [lire "si et seulement si"] sont utilisés avec les définitions suivantes: "Px É Qx" ("si Px alors Qx") est une abréviation de "~(Px Ù ~Qx)", et "Px º Qx" est une abréviation de "(Px É Qx) Ù (Qx É Px)".

Nous pouvons écrire dans cette notation tous les principes qu'Aristote avait formulé. Par exemple, l'expression (5) devient:

(5') ((x) (Sx É Mx) Ù (x) (Mx É Px)) É (x) (Sx É Px)

De cette façon, en envisageant la collection complète des schémas que nous pouvons écrire avec cette notation, nous sommes amenés à examiner des principes logiques potentiels qu'Aristote n'avait jamais considéré; celui-ci, en effet, ne s'occupait habituellement que des inférences dont chacune des prémisses nécessite exactement deux noms de classe.

Le plus important avec la notation moderne, c'est que nous pouvons analyser des inférences qui impliquent essentiellement des relations de deux termes ou plus. C'était fondamentalement l'absence de développement d'une logique des relations qui a banalisé la logique étudiée avant la fin du dix-neuvième siècle; et cette absence a rendu cette logique traditionnelle, depuis Aristote jusqu'à Boole (y compris même le travail de Boole, quelque importance colossale qu'il ait eu pour les développements ultérieurs), totalement inadaptée à l'analyse du raisonnement déductif dans ses formes les plus compliquées.

Dans ses nombreux écrits logiques et philosophiques, Quine a prétendu que la théorie de la quantification n'affirme pas réellement la formulation (A), par exemple, du chapitre précédent ( * ). Du point de vue de Quine, quand un logicien construit un système dont l'un des théorèmes est (5'), il ne veut pas dire par là qu'il affirme (A). Dans (5) ou (5'), S, M et P sont bien plutôt des "lettres muettes" mises pour n'importe quel prédicat que l'on souhaite; et ce que le logicien nous dit, c'est que toutes les instances de substitution de (5) ou de (5') sont des vérités de la logique ( * ) .

Selon ce point de vue, la formulation suivante est une "vérité de la logique":

(9) Si tous les corbeaux sont noirs et si toutes les choses noires absorbent la lumière, alors tous les corbeaux absorbent la lumière.

Tandis que le principe général (A):

Pour toutes les classes S, M, P: si tous les S sont M et tous les M sont P, alors tous les S sont P.

n'est pas une vérité de la logique, mais, du point de vue de Quine, une vérité des mathématiques.

Je ne me soucie pas beaucoup de savoir où l'on trace une ligne de démarcation entre logique et mathématiques, mais cette dernière proposition spécifique de frontière selon Quine ne me semble guère défendable.

Mes arguments sont principalement de deux sortes. En premier lieu, la tradition de la logique va à l'encontre de Quine; car depuis ses origines, le propos des logiciens est d'exposer des principes généraux comme (A) et non de "trier" des vérités telles que (9) parmi d'autres vérités. Deuxièmement, je ne pense pas que toutes les instances de substitution d'un schéma valide soient "vraies", puisque certaines sont manifestement dénuées de sens. Par exemple:

(10) Si tous les boojums sont des snarks et si tous les snarks sont des eggelumphs, alors tous les boojums sont des eggelumphs.

ne me paraît pas constituer un énoncé vrai; il a la forme d'un énoncé logiquement valide, mais, à mon avis, ce n'est pas un énoncé du tout, et il n'est donc ni vrai, ni faux. Et de fait, qualifier (10) de vrai requiert quelque révision des règles logiques habituelles. Car il s'agit là d'un théorème de la logique standard seulement si un énoncé de la forme "si p et q, alors r" est vrai; mais alors, ou p et q et r sont vrais ensemble, ou p est vrai et q faux et r vrai ou faux, ou p est faux et q vrai et r vrai ou faux, ou bien encore p et q sont tous les deux faux et r est vrai ou faux. Mais dans le cas précis de (10), les trois composantes correspondant à p, q et r ne sont ni vraies, ni fausses.

Bien sûr, on pourrait prendre la décision d'étendre la notion de vérité, et qualifier de vrai n'importe quel énoncé qui ait la forme d'un énoncé logiquement valide. Mais alors, l'expression suivante:

(11) Tous les boojums snarkent ou bien tous les boojums ne snarkent pas.

(qui a la forme p Ú ~p) devra être comptée pour vraie; mais cela semble extrêmement déroutant, puisque normalement, quiconque affirme (11) serait conduit à avancer:

(12) L'énoncé suivant lequel tous les boojums snarkent est soit vrai, soit faux.

A mon avis, la logique en tant que telle ne nous dit pas que (9) est vrai; pour savoir que (9) est vrai, je dois utiliser ma connaissance du principe logique (A), plus ma connaissance que les prédicats "x est un corbeau", "x est noir" et "x absorbe la lumière" sont chacun vrais pour des choses de certaines classe (respectivement: la classe des corbeaux, la classe des choses noires et la classe des objets qui absorbent la lumière). Mais même cette "connaissance" entraîne une certaine idéalisation: à savoir, ne tenir aucun compte du fait que certains prédicats (particulièrement "être noir"), sont mal définis (ni vrais, ni faux) dans certains cas. Cependant, même si nous sommes disposés à réaliser cette idéalisation, le fait de savoir que "x est un corbeau" est un prédicat vrai pour chaque chose d'une certaine classe (à l'exception des cas marginaux possibles), et faux pour chaque chose du complémentaire de cette classe, c'est déjà en savoir long sur le langage et sur le monde. Reconnaître que "x est un corbeau" est un prédicat assez bien défini, que "x est beau" est assez mal défini, et que "x est un snark" est dépourvu de sens, ne relève pas d'une connaissance logique, quel que soit le qualificatif que l'on donne à cette connaissance.

Quine et moi sommes donc en désaccord, puisque de fait, il existe des énoncés tels que (9) que Quine regarde comme des "vérités de la logique", alors que, de mon point de vue, chacun de ces énoncés reflète un mélange complexe de connaissances logiques et extra-logiques. Mais il n'est pas important que le lecteur soit ici d'accord avec moi et non avec Quine; ce sur quoi j'insiste pour notre propos, c'est que, historiquement et conceptuellement, la décision d'appeler "principes de logique" des énoncés tels que (A) n'est pas si mal motivée. On peut assurément faire un choix, mais il est important que l'on puisse tout naturellement choisir que des énoncés comme (A), qui se réfèrent explicitement à des classes, fassent partie de la logique.

Les schémas logiques considérés jusqu'ici contenaient des quantificateurs (x) [pour tout individu x], et ( $ x) [il existe un individu x tel que], mais ne contenaient pas (F) et ( $ F). Etant donné un "univers du discours", nous pouvons dire, avec la notation décrite ci-dessus, qu'un certain élément de l'univers est P en écrivant ( $ x) Px; mais nous ne pouvons pas dire qu'il existe un ensemble ou une classe de tous les éléments ayant la propriété P (symboliquement: ( $ F) (x) (Fx º Px)), puisque nous ne possédons pas "( $ F)".

Les grands fondateurs de la logique moderne, Gottlob Frege et à sa suite Bertrand Russell, ont décidé sans hésitation de compter des expressions telles que ( $ F) comme faisant partie intégrante de la logique, et même, de considérer également comme "logiques" des expressions telles que ( $ F 2 ) avec le sens de il existe une classe de classes, ( $ F 3 ) avec le sens de il existe une classe de classes de classes, etc.

J'ai le sentiment qu'il n'y avait aucune faute à procéder ainsi. Leur décision peut ne pas avoir été la seule possible (et d'ailleurs, dans l'introduction à la seconde édition des Principia Mathematica, Russell s'abstient prudemment de prétendre une telle chose), mais elle représentait un choix parfaitement naturel. La question de savoir où "tracer la frontière" (s'il y a frontière à tracer) entre la logique et la théorie des ensembles, et de là, entre la logique et les mathématiques, est une de celles qui n'a pas de réponse non arbitraire.

Supposons, cependant, que nous décidions de tracer cette frontière à la logique du "premier ordre" ("la théorie de la quantification"), et de compter parmi les "mathématiques" des expressions comme ( $ F), ( $ F 2 ), etc. Nous sommes tout de même confrontés au problème suivant: quand un logicien construit un système qui contient des théorèmes tels que (5'), que veut-il affirmer ? Il peut, bien sûr, ne rien vouloir affirmer; il peut simplement construire ainsi un système formel non interprété, mais alors, il ne fait certainement pas de la logique. Le fait est que la grande majorité des logiciens comprendrait cette intention de la manière suivante: les théorèmes du système sont destinés à être des formules valides. Implicitement (si ce n'est explicitement), le logicien a le souci de réaliser des assertions de la forme "telle ou telle chose est valide", en l'occurrence, des assertions du genre de (A). Et donc, même la logique du premier ordre serait normalement comprise comme une "métathéorie". En effet, pour autant qu'il fasse des assertions en écrivant des schémas tels que (5'), le logicien effectue des assertions de validité et cela signifie qu'il fait implicitement des assertions du second ordre; car affirmer la validité du schéma du premier ordre (5'), c'est justement affirmer (S) (M) (P) (schéma 5) - et ceci est effectivement une assertion du second ordre.

En résumé, je crois qu'il est assez arbitraire de dire que la logique du "second ordre" n'est pas de la "logique"; et même si l'on défend ceci, la compréhension naturelle de la logique du premier ordre veut que, en écrivant des schémas du premier ordre justement, nous affirmions implicitement leur validité (ce qui est proprement faire des assertions du second ordre). De ce point de vue, il est facile de voir pourquoi et comment le traditionnel problème nominalisme/réalisme en vient à intéresser fortement les philosophes de la logique; si nous avons raison, en effet, la compréhension naturelle de la logique est telle que toute celle-ci, même la théorie de la quantification, implique une référence à des classes (ce qui est justement le genre d'entités que le nominaliste désire proscrire).

© Editions de l'Eclat, 1996


*. [N.d.t.: Cf. par exemple: Quine W.V.O.: Philosophie de la logique trad. fr. par J. Largeault. 1976. Paris: Aubier-Montaigne p. 76 sq. "La vérité logique en termes de substitution".]


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