V - L'insuffisance du langage nominaliste


On entend par "langage nominaliste" un langage formalisé dont les variables portent sur des choses individuelles (dans un sens convenable quelconque), et dont les lettres de prédicats représentent des adjectifs et des verbes qui s'appliquent à ces choses individuelles (tels: "dur", "plus grand" que, "partie de"). Ces adjectifs et ces verbes n'ont pas besoin de correspondre à des propriétés et relations observables ou tangibles; ainsi, le prédicat "est un électron" est parfaitement admissible. Mais ils ne doivent pas présupposer l'existence d'entités telles que des classes ou des nombres.

On a signalé fréquemment qu'un tel langage est insuffisant pour répondre aux besoins de la science; accepter ce genre de langage comme le seul que nous soyons philosophiquement autorisés à employer nous obligerait, par exemple, à abandonner virtuellement toutes les mathématiques. En vérité, les restrictions du nominalisme sont aussi désastreuses pour les sciences empiriques que pour les sciences formelles; ce n'est pas seulement les "mathématiques", mais aussi la physique que nous devrions alors abandonner.

Pour illustrer ceci, considérons l'exemple le plus connu de loi physique, la loi de la gravitation de Newton. (Le fait que cette loi ne soit pas strictement vraie n'a pas d'importance pour la discussion actuelle; la loi admise comme vraie actuellement est bien plus compliquée et requiert indubitablement encore plus de mathématiques pour être formulée). Comme chacun sait, la loi de Newton affirme qu'il existe une force f ab exercée par tout corps a sur n'importe quel autre corps b. La force f ab est dirigée vers a, et son intensité F est donnée par:

F = gM a M b /d 2

g est une constante universelle, M a la masse de a, M b la masse de b et d la distance qui sépare a de b.

Je soutiendrai ici une philosophie "réaliste" de la physique; j'admettrai donc que l'un de nos objectifs important en faisant de la physique est d'essayer de formuler des lois "vraies ou presque vraies" (1) (l'expression est de Newton), et non simplement de construire des ponts ou de prévoir des expériences. Je prétendrai également que la loi donnée ci-dessus est correcte, bien que nous sachions aujourd'hui qu'il s'agit seulement d'une approximation d'une autre loi beaucoup plus compliquée. Ces deux hypothèses seraient acceptables pour un nominaliste. Il me semble en effet que les nominalistes doivent, au fond, être matérialistes, car autrement, leurs scrupules sont incompréhensibles. Et aucun matérialiste ne reculerait devant l'idée que la matière obéit à des lois objectives, et que le fait d'essayer de formuler ces lois soit un objectif de la science. Nous admettons ici que la loi de Newton est strictement vraie uniquement pour avoir à notre disposition un exemple précis de loi physique; et un exemple de loi qui possède une structure mathématique (ce qui fait qu'elle ne peut pas être exprimée en langage nominaliste), et qui soit intelligible par la plupart des gens - ce que ne sont pas, malheureusement, des lois physiques beaucoup plus compliquées.

La loi de Newton présente donc l'intérêt d'avoir un contenu qui, bien qu'il soit en un sens parfaitement clair (la "poussée" gravitationnelle est directement proportionnelle aux masses et obéit à une loi de l'inverse du carré), transcende tout à fait ce qui peut être exprimé en langage nominaliste. Même si le monde était plus simple qu'il ne l'est, si la gravitation était la seule force qui y règne, et si la loi de Newton était exactement valable, il serait encore impossible de faire de la "physique" en langage nominaliste.

Mais comment pouvons-nous être sûr qu'il en soit bien ainsi ? Même si aucun nominaliste n'a encore proposé de moyen qui permette de "traduire" des énoncés tels que la loi de Newton en langage nominaliste, comment pouvons-nous être sûr qu'aucun moyen de ce genre n'existe ?

Considérons ce qui est en jeu ici, et donc, non seulement la loi de la gravitation elle-même, mais aussi ses sous-entendus manifestes. En premier lieu, cette loi présuppose l'existence de forces, de distances et de masses, peut-être pas en tant qu'entités réelles, mais comme choses pouvant être, d'une manière ou d'une autre, mesurées à l'aide de nombres réels. Si nous devons utiliser la loi de Newton, nous avons besoin d'un langage assez riche pour énoncer non seulement la loi elle-même, mais des faits du genre "la force f ab est r 1 ± r 2 ", "la masse M a est r 1 ± r 2 ", "la distance d est r 1 ± r 2 ", où r 1 et r 2 sont des nombres rationnels arbitraires. (Il n'est pas nécessaire, ni même vraiment possible, de prétendre spécifier chaque nombre réel; par contre, nous avons besoin de pouvoir exprimer des estimations rationnelles arbitrairement précises de grandeurs physiques).

Mais aucun nominaliste n'a jamais proposé de procédé par lequel on puisse traduire en langage nominaliste des expressions arbitraires du genre "la distance d est r 1 ± r 2 ". En outre, à moins que nous ne soyons disposés à postuler l'existence d'une infinité actuelle d'objets physiques, aucun "schéma de traduction" tel que celui que nous venons d'envisager ne peut exister d'après l'argument suivant: s'il n'existe qu'une quantité finie d'éléments, alors il ne lui correspond qu'une quantité finie d'expressions non équivalentes dans le langage formalisé nominaliste. Autrement dit, il existe un nombre fini d'expressions S 1 , S 2 , ..., S n telles que, pour une expression donnée S, on ait soit S º S 1 , soit S º S 2 , ..., soit S º S n ; de plus, pour l'indice i approprié, S  º  S i se déduit logiquement de la proposition "le nombre des éléments est N (2) . Mais si nous disposons de noms pour deux éléments différents de notre "langage de la physique" (a et b par exemple) et que nous puissions y formuler les énoncés "la distance de a à b est de un mètre ± un centimètre", "la distance de a à b est de deux mètres ± un centimètre", etc., alors, il est évident que nous devons disposer d'une série infinie d'énoncés non équivalents qui leur correspondent (et, étant donné la prémisse "le nombre des objets est N", cette non équivalence entre énoncés ne disparaît pas; on ne déduit pas logiquement de cette prémisse que deux expressions quelconques parmi celles données ci-dessus ont la même valeur de vérité). Ainsi, toute "traduction" du "langage de la physique" en "langage nominaliste" ne peut que semer la perturbation dans les relations logiques; pour tout N, il y aura deux entiers différents n et m tels que le "théorème faux" suivant:

Si le nombre des éléments est N, alors la distance de a à b est n mètres ± un centimètre º la distance de a à b est m mètres ± un centimètre.

se métamorphose en un théorème vrai si nous acceptons le schéma de traduction en question. Un langage nominaliste est donc par principe inadéquat et insuffisant pour la physique.

Cette insuffisance devient même plus claire si nous examinons notre question moins formellement. Le concept de "distance en mètres" est extrêmement complexe. Qu'est-ce que cela implique en effet de supposer qu'une grandeur physique comme une distance puisse être, d'une manière ou d'une autre, mise en relation avec des nombres réels ?

Voici une explication que je pense correcte. Il est clair que la physique nous conduit à reconnaître l'existence d'entités telles que les "points de l'espace" (ou les points de l'espace-temps en physique relativiste), bien que la nature de ces entités soit loin d'être limpide. Quoique ce soit manifestement faux, les physiciens disent fréquemment que des points de l'espace-temps sont tout simplement des "événements". Carnap et Quine préfèrent quant à eux imaginer les points comme des triplets de nombres réels - ou des quadruplets de nombres réels dans le cas de l'espace-temps; cependant, ceci semble extrêmement artificiel, car intuitivement, l'identité d'un point de l'espace ne dépend pas d'un quelconque système particulier de coordonnées (3) . Je préfère, pour ma part, les penser comme des propriétés de certains événements (ou de particules, si l'on a à l'esprit une physique de particules ponctuelles); toutefois, pour le moment, prenons les comme des entités primitives en ne les identifiant pas davantage que par le nom "point". Quel que soit le point de vue adopté, il existe une relation C(xy, z, w) que l'on peut appeler relation de congruence; c'est une relation physiquement signifiante entre des points, et que l'on exprime en langage habituel en disant que l'intervalle [xy] est congruent à l'intervalle [zw] . (Je dis "quel que soit le point de vue" car il existe de sérieuses divergences entre les philosophes qui pensent que cette relation peut être définie opérationnellement, et ceux qui, comme moi, soutiennent que toutes les prétendues définitions opérationnelles sont gravement erronées et que ce type de relation doit être prise pour primitive dans la théorie physique). Prenons deux points (par exemple les points extrêmes du mètre standard de Paris, à un instant donné) et appelons les a 1 et a 2 . Nous poserons par définition que la distance de a 1 à a 2 est un. Nous pouvons alors définir de la manière suivante la "distance" comme une mesure numérique déterminée pour n'importe quel couple de points x et y:

"La distance de x à y est r" est définie comme signifiant f(x, y) = r, où f est une fonction quelconque qui satisfait aux cinq conditions suivantes:

(1) f(w, v) est définie et possède une valeur réelle non négative pour tous points w et v.

(2) f(w, v) = 0 si et seulement si w est le même point que v.

(3) f(w, v) = f(w', v') si et seulement si on a C(w, v, w', v'), c'est-à-dire, si et seulement si l'intervalle [w, v] est congruent à l'intervalle [w', v'].

(4) Si w, v et u sont des points colinéaires et si v est entre w et u, alors f(wu) = f(w, v) + f(v, u). (Ici, les termes "colinéaire" et "entre" peuvent être définis par des méthodes connues en fonction de la relation C, ou être considérés comme étant d'autres notions primitives de la géométrie physique).

(5) f(a 1 , a 2 ) = 1.

On peut montrer qu'il n'existe qu'une seule fonction f satisfaisant ces cinq conditions (4) . Ainsi, la signification de la définition donnée ci-dessus peut être formulée en disant que la distance est la valeur de l'unique fonction qui satisfait (1) à (5).

Nous appellerons l'explication donnée plus haut, description d'une "numéricalisation" (5) de la grandeur physique qu'est la distance. Le point intéressant dans ce contexte est celui-ci: même si nous considérons les "points" comme des objets et la relation "C(x, y, z, w)" comme primitive, nous ne pouvons pas encore rendre compte de la "numéricalisation" de la distance sans quantifier sur les fonctions. (Bien sûr, nous pourrions éviter le problème dans son ensemble en identifiant les points avec des triplets de nombres réels et en utilisant le théorème de Pythagore pour nous fournir une définition de la distance; mais alors, ou bien la relation "l'objet O est au point P" devra être analysée, ou bien nous devrons abandonner la "numéricalisation" comme étant une chose essentiellement mystérieuse et inexpliquée.)

En résumé, même les énoncés de la forme "la distance de a à b est r 1 ± r 2 " (où r 1 et r 2 sont des nombres rationnels variables) ne peuvent être expliqués sans que l'on utilise la notion de fonction de l'ensemble des points dans celui des nombres réels - ou tout au moins, dans celui des nombres rationnels. Pour n'importe quels r 1 et r 2 constants, un énoncé équivalent peut certes être construit en quantifiant uniquement sur des points; mais pour saisir le sens de ce prédicat en tant que prédicat des variables (r 1 , r 2 ), on a besoin de notions telles que celles de fonction ou d'ensemble. Et la manière naturelle de procéder, comme nous venons de le voir, fait même appel à des fonctions de l'ensemble des points dans celui des nombres réels.

Il est facile, pour une seule et même personne, d'exprimer dans un contexte des convictions nominalistes, et de parler, dans un autre contexte, de "distance" comme étant quelque chose de défini (et ayant une valeur numérique) pour des points arbitraires x et y. Et pourtant, nous venons de voir qu'une telle attitude est inconsistante. Si la "numéricalisation" des grandeurs physiques a un sens, nous devons accepter des notions telles que celles de fonction et de nombre réel; et ce sont justement là des notions que le nominaliste rejette. Si rien ne répond réellement à ces concepts, qu'affirme donc la loi de la gravitation ? Car cette loi est totalement dénuée de sens si l'on ne peut expliquer que des variables peuvent décrire des distances arbitraires (ainsi, bien sûr, que des forces et des masses également arbitraires).

© Editions de l'Eclat, 1996


1 - [N.d.t.: true or very nearly true dans le texte original]

2 - Voici une esquisse de preuve de cette affirmation. Supposons, par exemple, que N = 2 et introduisons provisoirement les symboles "a" et "b" pour désigner les deux éléments dont on suppose ainsi l'existence. Réécrivons chaque énoncé (x) Px comme une conjonction Pa Ù Pb et chaque énoncé ( $ x) Px comme une disjonction Pa Ú Pb. Ainsi, chaque énoncé S du langage est transformé en un énoncé S' sans quantificateurs. En admettant que le nombre de prédicats primitifs du langage soit fini, il n'existe qu'une quantité finie d'énoncés atomiques. Si le nombre de ces énoncés atomiques est n, le nombre de leurs fonctions de vérité est 2 2n . On peut facilement construire 2 2n énoncés sans quantificateurs qui correspondent à ces 2 2n fonctions de vérités; alors, n'importe quel énoncé construit en dehors de ces n énoncés atomiques donnés et à l'aide de connecteurs fonctionnels de vérité sera logiquement équivalent à l'un de ces énoncés T 1 , T 2 , ..., T 22n . De plus, si S' º T i est un théorème du calcul propositionnel, il est facile de voir que S º ( $ a,b) (a ¹ b Ù T i ) est vrai dans tout univers de deux éléments; et donc, "le nombre d'éléments est deux" (que l'on peut symboliser par ( $ a,b) (a ¹ b Ù (x) (x = a Ú x = b))) implique S º ( $ a,b) (a ¹ b Ù T i ). Ainsi, en posant S 1 = "( $ a,b) (a ¹ b Ù T 1 )", S 2 = "( $ a,b) (a ¹ b Ù T 2 )", ..., on obtient les deux résultats suivants: (1) si le nombre d'éléments est deux, tout énoncé S est équivalent en valeur de vérité à l'un des énoncés S 1 , S 2 , ..., S 22n ; (2) pour l'indice i approprié, l'énoncé S º S i est lui-même impliqué par le fait que le nombre des éléments est deux. La même idée est utilisable pour un nombre fini quelconque d'éléments.

3 - [N.d.t.: Putnam est peut-être un peu elliptique ici en laissant entendre que ces deux philosophes proposent une conception aussi simpliste. Il n'ignore sûrement pas, par exemple, que la succession des systèmes de coordonnées illustre surtout l'inscrutabilité de la référence chez Quine. Cf. Quine W.V.O., Relativité de l'ontologie et autres essais, trad. fr. par Jean Largeault, Paris: Aubier-Montaigne. 1977. p. 62 sq.]

4 - Strictement parlant, ce n'est vrai que si l'on exige que f soit une fonction continue de l'ensemble des points de l'espace dans celui des nombres réels. Cependant, cette propriété de continuité peut être exprimée sans supposer que nous disposions déjà d'une métrique disponible sur les points de l'espace. J'ai laissé ceci de côté dans le cours du texte uniquement pour simplifier la discussion.

5 - Le terme utilisé dans tous les textes de philosophie des sciences n'est pas "numéricalisation", mais "mesure". J'ai forgé ce barbarisme afin d'insister sur le fait que le problème n'est pas de mesurer quelque chose, mais de définir quelque chose - à savoir, une correspondance entre couples de points et nombres. Le terme "mesure" est un reliquat de l'époque opérationnaliste, lorsque l'on supposait que la mesure était antérieure à la définition (plutôt que vice versa).
[N.d.t.: numericalization dans le texte original; le néologisme numérisation est investi d'un sens technique et informatique assez précis et complètement différent, aussi ai-je également rendu ce terme par numéricalisation].


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Philosophie de la logique de Hilary Putnam traduction Patrick Peccatte

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