VI - Conception prédicative contre conception imprédicative
de la notion d'"ensemble"


L'ensemble {x, y}, qui possède les deux éléments x et y, est appelé paire non ordonnée de x et de y. On peut définir de différentes manières des paires ordonnées à l'aide de paires non ordonnées. Bien qu'elle ne soit pas la plus habituelle, la façon la plus naturelle est peut-être celle-ci: on se donne deux objets a et b qui vont servir de "marqueurs". On identifie alors la paire ordonnée constituée de x et de y avec l'ensemble {{x, a}, {y, b}}, c'est-à-dire avec la paire non ordonnée dont les éléments sont les deux paires non ordonnées {x, a} et {y, b}. Notons <x, y> cette paire ordonnée; autrement dit, <x, y> est définie comme étant {{x, a}, {y, b}}. On voit alors aisément que, pour tout x, y, u, v:

<x, y> = <u, v>

si et seulement si x = u et y = v. Ainsi, deux "paires ordonnées" sont identiques uniquement quant leurs éléments sont identiques et sont dans le même ordre (c'est d'ailleurs tout ce que l'on demande à une définition de la notion de "paire ordonnée").

En mathématiques, une relation binaire est simplement un ensemble de paires ordonnées. Comme une "paire ordonnée" est définie en termes de "paire non ordonnée" et que les "paires non ordonnées" sont simplement des ensembles, il s'ensuit qu'une "relation" peut être définie à l'aide de l'unique notion primitive d'ensemble. Si R est une relation telle que, pour tout u, v, y, on ait:

si <u, v> Î R et <u, y> Î R, alors v = y,

la relation R est appelée "fonction". Comme une fonction est définie en termes de "relation" (et à l'aide de la notion d'égalité que nous estimons faire partie de la logique élémentaire), elle est également définie en termes d'ensemble.

D'autre part, il est bien connu que les nombres naturels 0, 1, 2, 3, ... peuvent être définis de différentes façons en termes d'ensemble. Par exemple, on peut assimiler 0 à l'ensemble vide, 1 à {0}, 2 à {0, 1}, 3 à {0, 1, 2}, etc. De plus, les opérations élémentaires "plus", "fois", etc., peuvent toutes être définies à partir de la notion d'ensemble. Les nombres rationnels sont naturellement identifiés aux paires ordonnées de nombres naturels sans diviseurs communs (et telles que le second nombre de chaque paire ordonnée soit différent de zéro); et les nombres réels peuvent, par exemple, être identifiés à des séries de nombres rationnels (une "série" étant une fonction dont le domaine est l'ensemble des nombres naturels). Ainsi, tous les "objets" des mathématiques pures peuvent être construits en partant de l'unique notion d'ensemble; il s'agit là, certainement, de la manière de procéder que l'on préfère dans les mathématiques contemporaines.

Au lieu de dire, comme au chapitre précédent, que la physique nécessite par essence une référence à des fonctions et à des nombres réels, nous aurions simplement pu dire qu'elle a besoin d'une notion telle que celle d'ensemble, puisque les notions de nombre et de fonction peuvent être construites avec cette dernière. Dans ce chapitre, nous examinerons un peu rapidement cette notion d'ensemble.

La difficulté la plus célèbre de la notion d'ensemble peut être décrite ainsi; supposons que nous admettions les deux propositions suivantes:

(1) Les ensembles sont des entités de leur propre chef, par essence, - c'est-à-dire, des choses sur lesquelles on puisse quantifier (1) -.

(2) Si F est une condition bien définie quelconque, alors il existe un ensemble constitué de toutes les entités qui satisfont à la condition F .

Alors, en admettant aussi que la condition "~x Î x" est bien définie, il en découle qu'il existe un ensemble de tous ces ensembles x tels que x n'appartienne pas à x. Si y est cet ensemble, on a:

(3) (x) (x Î y º ~x Î x)

Mais alors, en substituant y à x, il vient:

(4) y Î y º ~y Î y et ceci est une contradiction ! (2)

Evidemment, l'une de nos hypothèses était fausse. Mais laquelle ? Nous pourrions affirmer que "~x Î x" n'est pas une condition bien définie pour des ensembles arbitraires x et y. Mais si x Î y est une relation bien définie pour des ensembles arbitraires x et y, il semblerait que x Î x et ~x Î x doivent également être bien définies (dans le sens où elles ont une valeur de vérité bien déterminée) pour tous les ensembles x. Renoncer soit à l'idée que x Î y est une relation bien définie, soit à l'idée que les ensembles sont des entités sur lesquelles on puisse quantifier, serait en fait renoncer complètement à la théorie des ensembles. Mais alors, la seule alternative est d'abandonner, ou tout au moins de restreindre la proposition (2), ce qui heurte au plus haut point l'intuition.

La soi-disant théorie des types (3) constitue une façon d'échapper à cette difficulté. D'après cette théorie, "x Î y" est bien défini uniquement si x et y sont de types adéquats; les éléments comptent pour le type zéro, les ensembles d'éléments pour le type un, les ensembles d'ensembles d'éléments pour le type deux, etc. Selon cette théorie, l'expression "~x Î x" n'est même pas grammaticale puisque l'on ne peut dire d'aucun ensemble s'il est ou s'il n'est pas élément de lui-même. On peut se demander si un ensemble appartient à n'importe quel ensemble du type immédiatement supérieur, mais pas s'il appartient à lui-même (ou à n'importe quel ensemble qui ne soit pas du type immédiatement supérieur).

Soit R une relation quelconque entre des éléments. Un ensemble a tel que pour tout x, si x Î a , alors y Î a pour au moins un y tel que Rxy, sera appelé, pour l'instant, une R-chaîne. Supposons que nous voulions dire qu'il existe une R-chaîne contenant un élément U. Nous écrivons alors:

(5) ( $ a ) ( a est une R-chaîne Ù U Î a )

où " a est une R-chaîne" abrège l'expression "(x) (x Î a É ( $ y) (y Î a Ù Rxy))".

Or, l'ensemble b de tous les U (chaque U étant tel qu'une certaine R-chaîne contienne U) est un ensemble parfaitement légitime, et ceci, en accord avec la théorie des types et la plupart des mathématiciens. Un petit nombre de mathématiciens et de philosophes s'opposent cependant à l'idée d'un tel ensemble. Ils affirment que définir un ensemble b comme l'ensemble de tous les U tels qu'il existe une R-chaîne contenant U est "vicieux", car "la totalité en termes de laquelle b est définie" (la totalité de toutes les R-chaînes a ) pourrait contenir b lui-même. En règle générale, ces mathématiciens et philosophes affirment qu'un ensemble ne devrait jamais être défini en termes de "totalité", à moins que la totalité en question soit incapable de contenir cet ensemble ou n'importe quel autre ensemble défini à l'aide de cet ensemble. Bien sûr, cela reste assez imprécis. Mais l'intention qui sous-tend tout ceci est assez intéressante.

Supposons que je ne comprenne pas du tout la notion d'"ensemble", ou même, que je ne fasse usage que d'un certain langage nominaliste N. Supposons encore qu'un beau jour, je décide de comprendre deux notions qui ne sont pas nominalistes, ou, tout au moins, dont le statut nominaliste est litigieux: les notions de "formule" et de "vérité". A l'aide de ces notions, je peux introduire une version très affaiblie de la notion d'ensemble; j'identifie les ensembles avec les formules de mon langage nominaliste qui possèdent seulement une variable libre x - par exemple, j'identifie l'ensemble des choses rouges avec la formule "Rouge(x)". J'explique alors la notion d'"appartenance" à un ensemble comme suit: si y est un élément et a un "ensemble" (i.e.: une formule qui ne comporte qu'une seule variable libre x), alors "y Î a " devra signifier que a est vrai pour y, où une formule F (x) est vraie pour un élément y uniquement dans le cas où la formule est vraie quand x est interprétée comme un nom de y. Ainsi, si a est la formule "Rouge(x)", on a:

y Î a si et seulement si a est vraie pour y,

i.e. si et seulement si "Rouge(x)" est vraie pour y,

i.e. si et seulement si y est rouge.

Et "Rouge(x)" s'avère bien être, comme il se doit, "l'ensemble de toutes les choses rouges".

J'appelle cette formulation une version "faible" de la notion d'ensemble, parce que cela n'a toujours aucun sens de parler de tous les ensembles d'éléments (sans compter les ensembles de type supérieur à un); on peut bien sûr envisager toutes les formules, mais ce n'est là que parler de tous les éléments définissables dans mon langage nominaliste N. Si de nouvelles notions primitives sont ajoutées au langage N, alors, en général, la totalité des ensembles (au sens défini précédemment) sera étendue. On peut renouveler le procédé décrit ci-dessus. Soit donc N' le langage obtenu à partir de N en autorisant une quantification sur tous les ensembles d'éléments définissables dans N; soit N" le langage obtenu à partir de N' en autorisant une quantification sur tous les ensembles d'éléments définissables dans N', etc. Alors, tous les ensembles d'éléments (définissables dans N, N', N", etc.) constituent des exemples d'ensembles "prédicatifs": chacun de ces ensembles présuppose une "totalité" qui soit définie précédemment - en commençant par la totalité des éléments -, et qui ne le présuppose pas lui-même. [On peut également introduire des ensembles prédicatifs de type supérieur en termes de formules de formules, mais nous ne le ferons pas ici]. Le point qui nous intéresse dans cette approche est celui-ci: cette notion prédicative d'ensemble peut être exposée jusqu'à n'importe quel niveau de la série N, N', N", etc., en termes de quantification sur les ensembles définissables plus avant dans la série en question, et sur eux seulement; et toute cette manière de s'exprimer - "ensembles définissables dans N", "ensembles définissables dans N'", etc. - peut elle-même être vue, si l'on veut, comme une simple façon de parler (4) , explicable à l'aide des notions de formule et de vérité.

En opposition avec ce qui précède, si l'on parle de tous les ensembles comme d'une totalité bien définie (et non plus seulement de tous les ensembles définissables dans un quelconque langage de la série N, N', N", etc.), on dit alors que l'on a affaire à une conception imprédicative de la notion d'ensemble.

© Editions de l'Eclat, 1996


1 - "Quantifier sur" des ensembles signifie utiliser des expressions du genre "pour tout ensemble x" et "il existe un ensemble x tel que".
[N.d.t.: La "définition" d'une entité mathématique comme "chose sur laquelle il est possible de quantifier" est connue traditionnellement sous le nom de critère ontologique de Church et Quine.]

2 - [N.d.t. : Il s'agit, bien sûr, d'une exposition de la célèbre antinomie de Russell.]

3 - [N.d.t.: the so-called theory of types dans le texte original. Putnam exprime ainsi le caractère obsolète et quelque peu ad hoc de la thorie échafaudée par Russell et Whitehead dans les Principia Mathematica. On lui préfère aujourd'hui divers systèmes axiomatisés comme celui de Zermelo et Fraenkel.]

4 - [N.d.t.: façon de parler, en français dans le texte original.]


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Philosophie de la logique de Hilary Putnam traduction Patrick Peccatte

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