VII - Quelle quantité de théorie des ensembles est réellement indispensable pour la Science ?


Dans les chapitres précédents, nous avons indiqué que la notion d'ensemble ou toute autre notion équivalente (par exemple, celle de fonction) est indispensable à la science. Maintenant, nous devons nous demander si la science a besoin de la notion "forte" (imprédicative) d'ensemble, ou seulement de la notion "faible" (prédicative). Car si nous sommes un tant soit peu intéressés par le débat du nominalisme et du réalisme, il ne faut pas s'imaginer que la seule alternative soit: (a) le nominalisme, ou (b) l'acceptation de la notion de "tous les ensembles" (ou de "tous les ensembles d'éléments"). Si nous penchons quelque peu vers le nominalisme, il se peut que nous désirions conserver le minimum possible de compromissions non nominalistes; et limiter celles-ci aux deux notions de "vérité" et de "formule" pouvait paraître tout à fait séduisant. La "vérité", en effet, est une notion à laquelle certains nominalistes pensent de toute façon avoir droit; et si les "formules" (au sens de types de formules, qu'elles soient explicitées ou non par des écritures effectives), sont des "entités abstraites" et donc non nominalistes, elles demeurent néanmoins des notions relativement claires.

En ce qui concerne les mathématiques pures, il semble que l'on puisse développer une certaine partie de celles-ci en utilisant seulement la théorie prédicative des ensembles, à condition que nous tolérions des ensembles prédicatifs d'objets autres que les objets physiques. Par exemple, si nous considérons les formules du langage N comme étant des éléments d'un autre langage M, et que nous construisions alors, comme il est indiqué au chapitre précédent, une série de langages M, M', M", etc., nous pouvons tout au moins développer l'arithmétique des nombres rationnels et une rudimentaire théorie des fonctions de nombres rationnels. (Nous avons cependant besoin d'un domaine infini d'éléments pour "démarrer"; nous devons prendre pour éléments des choses qui, telles les formules, ne sont pas concrètes, et ce, sans que nous soyons prêts à postuler l'existence d'une infinité actuelle d'objets physiques). Malheureusement, aucune théorie satisfaisante des nombres réels ou des fonctions de variables réelles ne peut être obtenue de cette façon, et c'est pourquoi la plupart des mathématiciens rejettent le point de vue prédicatif.

Pour revenir à la logique, c'est-à-dire à la notion de "validité", nous avions dit au début de cet essai que l'une des conceptions de cette notion de "validité", à savoir celle de "vérité de toutes les instances de substitution" selon un langage quelconque M, pouvait être définie dans des termes qui sont fondamentalement ceux de la théorie prédicative des ensembles (en utilisant uniquement la vérité et la quantification sur des formules). Nous avions remarqué aussi qu'une conception plus satisfaisante de la "validité" exige l'utilisation de l'expression "tous les ensembles", c'est-à-dire, des notions de la théorie imprédicative des ensembles.

En revenant enfin à la physique, nous nous apercevons alors de ceci: au premier abord, la loi de la gravitation - que nous prétendons être la seule loi de la physique au cours de cet essai - nécessite une quantification sur des nombres réels. Cependant, cette dernière loi est équivalent à l'énoncé suivant: pour chaque rationnel e et tous les rationnels m 1 , m 2 et d 1 , il existe un rationnel d tel que:

Si M a = m 1 ± d , M b = m 2 ± d , d = d 1 ± d

alors

F = (gm 1 m 2 /d 12 ) ± e

et cet énoncé utilise uniquement des quantifications sur des nombres rationnels. (Il subsiste toutefois le problème de la constante de gravitation qui peut ne pas être rationnelle ! Je ne m'en soucierai pas ici). Ainsi, un langage qui quantifie uniquement sur des nombres rationnels et qui mesure les distances, les masses, les forces, etc., à l'aide d'approximations rationnelles ("la masse de a est m 1 ± d ") est, en principe, assez puissant pour énoncer au moins la loi de la gravitation.

En supposant uniquement la théorie prédicative des ensembles, on peut facilement définir les nombres rationnels. On possède ainsi suffisamment de théorie des ensembles pour définir "le nombre cardinal de S", où S est n'importe quel ensemble fini et définissable de choses physiques. Traiter la "numéricalisation" des grandeurs physiques telles que la distance, la force et la masse en utilisant des approximations rationnelles et des ensembles prédicatifs est assez compliqué mais pourtant parfaitement possible. Il apparaît donc possible (quoique complexe et maladroit) de faire de la physique en utilisant seulement la théorie prédicative des ensembles.

En résumé, les "besoins" théoriques ensemblistes de la physique sont étonnamment semblables aux besoins théoriques ensemblistes de la logique pure. Les deux disciplines ont besoin d'une théorie des ensembles pour fonctionner un tant soit peu. Elles peuvent "vivre" toutes les deux, mais vivre chichement, avec le régime maigre des seuls ensembles prédicatifs. Elles peuvent aussi vivre très épanouies avec le régime riche des ensembles imprédicatifs. Ainsi donc, tandis que l'indispensabilité de la quantification sur des ensembles constitue un argument quelconque en faveur de leur existence (et nous discuterons pourquoi il en est ainsi au chapitre suivant), nous pouvons affirmer qu'il s'agit là d'un argument puissant en faveur de l'existence des ensembles prédicatifs; et c'est aussi un argument assez fort (mais pas aussi fort) en faveur de l'existence des ensembles imprédicatifs. Cependant, quand nous atteignons les extrémités ultimes de la théorie des ensembles (les ensembles d'ensembles d'ensembles d'ensembles), nous en arrivons à des concepts qui ne sont pas actuellement nécessaires en dehors des mathématiques pures. La cause du "réalisme" développée dans le présent chapitre est donc bien définie: on doit accepter les ensembles de choses, les nombres réels et les fonctions portant sur différentes sortes de choses et à valeurs réelles comme étant une partie de la charpente indispensable (ou presque indispensable) à l'heure actuelle pour les sciences physiques et la logique - et comme une partie de ce dont nous débattons l'existence. Par contre, les ensembles de type très élevé ou ceux qui possèdent de très grands cardinaux (au delà de la puissance du continu, par exemple), devraient, pour le moment, être explorés dans un esprit conjectural (1) . Ils peuvent un jour s'avérer aussi indispensables pour la formulation des lois physiques que les nombres rationnels le sont aujourd'hui; l'incertitude concernant leur "existence" apparaîtra alors aussi futile que le nominalisme extrême à l'heure actuelle. Mais pour le moment, nous devrions les regarder tels qu'ils sont, c'est-à-dire des extensions osées et spéculatives de l'appareil mathématique de base des sciences.

© Éditions de l'Éclat, 1996


1 - [N.d.t.: an "if-then" spirit dans le texte original. Selon Putnam, la philosophie "if-theniste" est due à Russell lui-même avant qu'il n'adopte le logicisme: "les mathématiques ont pour tâche de montrer que si il existe une structure satisfaisant tel ou tel axiome (par exemple les axiomes de la théorie des groupes), alors cette structure satisfait tel ou tel énoncé supplémentaire (un theorème de la théorie des groupes)". Putnam H. 'The thesis that mathematics is logic" in op. cit., p. 20.]


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Philosophie de la logique de Hilary Putnam traduction Patrick Peccatte

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