Qu'est-ce que la vérité mathématique ? [extrait] AbeBooks.fr - 110 millions de livres neufs, d'occasion, anciens et rares.


traduction provisoire

par Hilary PUTNAM

Edition originale : What is mathematical truth ? in Putnam H. : Mathematics, Matter and Method. Philosophical papers. vol. 1. 1975. Cambridge University Press. pp. 60-78.
Repris dans : Tymoczko T. (ed.) : New directions in the philosophy of mathematics. 1986. Birkhaüser. pp. 49-65.

Traduit de l’anglais (USA) par Patrick Peccatte
Avertissement : Cette traduction est présentée à titre d'illustration, comme une longue citation. Elle est provisoire et volontairement partielle. Reproduction interdite.
© Cambridge University Press


[...] Imaginons maintenant que nous ayons pris contact avec une civilisation avancée sur la planète Mars. Nous apprenons sans trop de difficultés le langage des Martiens et nous commençons à lire leurs journaux, leurs magazines, leurs oeuvres littéraires, leurs ouvrages et revues scientifiques, etc. Nous rencontrons alors quelques surprises lorsque nous abordons leur littérature mathématique.

La profondeur des résultats qu'ils prétendent avoir obtenu constitue la première surprise. De nombreuses propositions que nos meilleurs mathématiciens ont vainement essayé de démontrer - par exemple, le fait que toute carte peut être coloriée avec quatre couleurs (*) , les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann situés dans la bande comprise entre 0 et l'unité sont en fait situés sur la ligne ½ - sont mentionnées comme des affirmations dans leurs manuels. Nous commençons à lire avidement ces manuels afin d'apprendre les preuves de ces merveilleux résultats. Il apparaît alors à notre plus grande surprise que les Martiens se fient à des méthodes quasi-empiriques en mathématiques !

J'entends par "méthodes quasi-empiriques" des méthodes analogues à celles des sciences physiques, à l'exception du fait que les énoncés singuliers "généralisés par induction" ou utilisés pour tester les "théories" [etc.], sont eux-mêmes des produits de preuves ou de calculs plutôt que des "rapports d'observation" au sens habituel. Si, par exemple, nous décidons d'accepter l'hypothèse de Riemann (c'est-à-dire la proposition que l'on vient de mentionner concernant les zéros de la fonction zêta) parce que des recherches intensives effectuées à l'aide d'ordinateurs n'ont pas réussi à trouver un contre-exemple [et également parce que plusieurs "théorèmes" ont été prouvé avec son aide et aucun d'entre eux n'a été invalidé; de plus, les conséquences de l'hypothèse - qui sont importantes dans la théorie des nombres premiers, dans d'autres branches de la théorie des nombres ainsi que dans la théorie algébrique des nombres - sont plausibles et d'une portée considérable, etc.], alors nous pouvons tout aussi bien dire, non que nous avons prouvé l'hypothèse de Riemann, mais que nous l'avons "vérifié" par une méthode quasi-empirique. A l'instar de la vérification empirique, la vérification quasi-empirique est relative et non absolue; ce qui a été "vérifié" à un moment donné peut se révéler ensuite erroné. Mais existe-t-il une raison autre que sociologique pour que les méthodes quasi-empiriques ne puissent pas être utilisées en mathématiques ? S'il s'avère que les Martiens utilisent des méthodes quasi-empiriques et que leur pratique mathématique soit extrêmement fructueuse, pouvons-nous affirmer que ces méthodes soient irrationnelles ?

Une réponse ordinaire ("ordinaire" pour un philosophe d'une cuvée récente quelconque) consisterait à affirmer que les Martiens sont conceptuellement confus parce qu'"ils ne savent pas ce qu'est une preuve". Et l'on pourrait poursuivre en indiquant que si l'on ne sait pas ce qu'est une preuve, on ne sait pas ce que sont les mathématiques; et même - de manière plus incertaine toutefois -, que si l'on ne sait pas ce qu'est une preuve mathématique, alors on ne comprend pas les assertions en question (l'hypothèse de Riemann ou une autre) comme des assertions mathématiques.

Mais avant de laisser ce raisonnement se délayer trop loin, nous pouvons tout aussi bien demander: " Qu'est-ce qui vous conduit à affirmer qu'ils ne savent pas ce qu'est une preuve ? ". Supposons que les Martiens expriment quelque chose comme ce qui suit lorsqu'ils sont interrogés sur cette question:

Les mathématiques sont de ce point de vue tout à fait semblables aux autres sciences: certaines assertions apparaissent évidentes (par exemple, la formule F = ma en physique, ou peut-être certains principes de conservation) et d'autres ne le sont pas (la Loi de la Gravitation). De plus, également comme dans d'autres sciences, certaines affirmations qui n'apparaissent pas évidentes en soi s'avèrent être des conséquences de principes évidents (ainsi, la Troisième Loi de la physique newtonienne - l'action égale la réaction - est une conséquence d'autres lois) et d'autres ne le sont pas. Ce que vous appelez "preuve" est tout simplement une déduction effectuée à partir de principes plus ou moins évidents. Nous reconnaissons une preuve et nous l'apprécions à un aussi haut degré que vous lorsque nous pouvons en obtenir une. Nous ne comprenons pas cependant pourquoi vous vous restreignez à la preuve et pourquoi vous refusez d'accepter la confirmation. Il existe après tout des énoncés mathématiques qui ne sont ni immédiatement ni démonstrativement nécessaires - ce sont des vérités mathématiques épistémologiquement contingentes. Ne pas reconnaître la confirmation autant que vous reconnaissez la preuve vous empêche de ne jamais découvrir ces vérités.

Si les Martiens répondent ceci, nous ne pouvons pas dire qu'ils ne possèdent pas le concept de preuve. Ce serait plutôt à nous qu'un concept fait défaut: la confirmation mathématique. Les Martiens savent ce qu'est une preuve mathématique; ils utilisent les deux méthodes: la preuve mathématique et la confirmation. Ils ont d'ailleurs beaucoup de réussite en procédant ainsi (comme nous pourrions nous-même en obtenir si nous développions le talent de réaliser des inférences mathématiques quasi-empiriques).

On pourrait objecter en dernier lieu que de telles méthodes ne sont pas nécessaires par principe; les énoncés mathématiques possèdent tout simplement la propriété d'être vrais s'ils peuvent être prouvés. Mais le théorème de Gödel nous montre le contraire. Même si tous les énoncés démontrables sont épistémologiquement a priori - et réciproquement (1) -, les énoncés démontrables à partir des axiomes qui nous semblent évidents forment seulement un ensemble récursivement énumérable (à moins qu'une infinité de principes irréductiblement différents soient potentiellement évidents - ce qui me semble tout à fait incroyable). Or, selon une version du théorème de Gödel que l'on doit pour l'essentiel à Tarski, la classe des vérités de la seule théorie élémentaire des nombres n'est pas récursivement énumérable.

En particulier, même s'il était vrai comme certains philosophes l'ont prétendu que tous les axiomes utilisés en mathématiques soient "analytiques" et que la déduction préserve le caractère "analytique" (ce qui n'a jamais été montré), il ne s'ensuit pas que toutes les vérités des mathématiques soient analytiques. Si en effet les énoncés analytiques sont tous des conséquences d'une certaine liste finie de Postulats doués de Sens (le terme "conséquence" étant pris au sens de la logique du premier ordre), alors le fait qu'il doive exister des vérités synthétiques en mathématiques est une conséquence du théorème que nous venons de mentionner. Et ce qui est pire, le fait que tous les énoncés démontrables en mathématiques soient analytiques est une conséquence de la même idée; ainsi, bien qu'il existe des vérités synthétiques en mathématiques, notre refus d'utiliser des méthodes quasi-empiriques nous interdit de ne jamais découvrir l'une d'entre elles. Puisque les philosophes qui approuvent ce discours soutiennent généralement que les vérités analytiques "n'ont pas de contenu" et que les vérités synthétiques possèdent un "contenu factuel", on s'étonne que ces philosophes n'insistent pas pour que l'on soit obligé d'utiliser des méthodes quasi-empiriques !

Pourquoi ne pas avoir utilisé de méthodes quasi-empiriques ?

Nous sommes alors confrontés à une énigme: si l'utilisation de méthodes quasi-empiriques (pour ne pas dire, de méthodes empiriques) est, en principe, justifiée en mathématiques, pourquoi ne pas les avoir utilisé ? La réponse est la suivante: l'histoire de science-fiction précédente concernant les Martiens est délibérément un canular; nous avons utilisé des méthodes quasi-empiriques et même empiriques tout au long de l'histoire des mathématiques (oui, nous autres, êtres humains qui sommes sur terre !).

Considérons ainsi le postulat de base sur lequel est fondée la géométrie analytique (et avec elle, l'étude dans son ensemble de l'espace dans les mathématiques modernes, y compris la théorie topologique des variétés), à savoir, le postulat de l'existence d'un ordre univoque préservant la correspondance entre les points d'une ligne et les nombres réels. Considérons maintenant les nombres réels eux-même. Ces nombres ainsi que le postulat évoqué ont-ils été introduits d'une manière rigoureuse et avec une justification mathématique stricte ? Certainement pas. L'expérience mathématique a manqué aux Grecs, et par là même, la sophistication mathématique nécessaire pour généraliser la notion de "nombre" jusqu'au degré requis par l'existence de la correspondance en question leur a fait défaut. Et ainsi, quand ils se heurtèrent à l'existence des nombres incommensurables, ils ne purent qu'abandonner le postulat de correspondance, et avec lui, la possibilité d'un traitement algébrique de la géométrie. Descartes au contraire a simplement postulé l'existence d'un nombre - un nombre "réel" comme nous le qualifions maintenant - correspondant à chaque distance         (2) . Il n'identifiait pas ces nombres avec des ensembles ou des suites de nombres rationnels. Mais une fois qu'il eût montré combien le postulat de correspondance était "avantageux" (non seulement en mathématiques mais également en mécanique), il n'était plus du tout question d'abandonner le postulat en cause ou ces nombres généralisés - les nombres "réels". Il serait erroné, notamment, de prétendre que Descartes était "fondé" à procéder ainsi uniquement parce qu'il était possible (même s'il ne le savait pas) d'"identifier" les nombres réels avec des ensembles ou des suites de nombres rationnels. Supposons qu'il ne soit pas possible d'identifier les nombres réels avec des ensembles ou des suites (c'est-à-dire, de "construire" les nombres réels à partir des rationnels; supposons que ces constructions n'aient pas été découvertes). Aurions-nous dû renoncer à la géométrie analytique ou à la mécanique ? Ou plutôt, n'aurions-nous pas été amené à regarder les nombres réels comme des entités primitives, tout comme la plupart des mathématiciens considèrent les nombres entiers naturels (à la manière de Frege ou Russell !), ou comme Frege considérait les concepts, ou Zermelo les ensembles, ou bien encore comme certains mathématiciens considèrent actuellement les catégories et les foncteurs ? Supposons encore que nous possédions de telles mathématiques consistantes et axiomatisables où les nombres réels sont regardés comme des entités primitives. Serait-ce non justifié ? La sécurité du système des nombres réels est sans doute accrue lorsque l'on trouve une façon d'introduire ceux-ci à l'aide d'une définition (bien que le degré de sécurité en question soit difficile à mesurer, parce qu'une partie du prix à payer est de considérer les ensembles comme notions primitives; et il semble aujourd'hui étrange de tenir les ensembles pour "plus sûrs" que les nombres réels). Mais, contrairement à l'opinion des logicistes, il n'est pas essentiel d'identifier les nombres réels à des constructions logiques effectuées à partir des nombres rationnels.

Une fois que l'hypothèse des nombres réels et la correspondance entre les points et les réels aient montré leur fécondité en physique et en mathématiques, il n'y avait plus de problème, à moins de découvrir une contradiction mathématique (et même dans ce cas éventuel, nous aurions certainement essayé de contourner une contradiction quelconque par des moyens moins drastiques que l'abandon du système des nombres réels - et nous aurions sans aucun doute réussi); il n'était pas question, répétons-le, d'abandonner le système des nombres réels. L'existence des nombres réels et la correspondance entre les réels et les points d'une ligne ont été découvert en partie quasi-empiriquement et en partie empiriquement. Il s'agit là d'un exemple d'utilisation de méthodes hypothético-déductives au même titre que toute autre utilisation en physique.

La même histoire s'est répété avec l'introduction des méthodes du calcul différentiel et intégral par Newton et Leibnitz. Si les méthodes du type 'epsilon-delta' n'avaient pas été découvertes, les infinitésimaux auraient été des entités postulées (tout comme les nombres "imaginaires" le furent pendant longtemps). Et en effet, cette approche du calcul infinitésimal en élargissant le système des nombres réels est aussi consistante que l'approche standard, comme nous le savons aujourd'hui depuis le travail d'Abraham Robinson (**) .

Nos remarques précédentes à propos de l'introduction des méthodes de la géométrie analytique s'appliquent également avec force dans ce cas. Si le calcul n'avait pas "légitimé" l'approche de Weierstrass, celle-ci aurait été "justifiée" d'une manière ou d'une autre (3) . Le point important ici est que la justification réelle d'un calcul, ce sont ses succès, tant en mathématiques que dans les sciences physiques.

L'introduction de l'axiome du choix (***) par Zermelo constitue un exemple récent d'utilisation pleinement consciente et explicite d'un argument quasi-empirique pour justifier l'extension des fondements axiomatiques des mathématiques. Dans un texte datant de 1908 (4) , Zermelo défend son axiome contre les critiques apparues lors de la publication de son article de 1904. Peano, en particulier, avait alors relevé que l'axiome paraissait indépendant des axiomes de son propre Formulaire; il poursuivait en suggérant que la preuve due à Zermelo de la proposition selon laquelle ‘tout ensemble peut être bien ordonné’, ne constituait pas une preuve du tout puisqu'elle repose sur l'affirmation "non prouvée" de l'axiome du choix. Zermelo répondit ainsi à cette objection (5) :

En premier lieu, comment Peano arrive-t-il à ses propres principes fondamentaux et comment justifie-t-il leur incorporation dans le Formulaire, puisque, après tout, il ne peut en prouver aucun ? Evidemment en analysant les modes d'inférences qui, historiquement, ont été reconnus valides et en soulignant que ces principes sont intuitivement évidents et nécessaires pour la science - toutes considérations qui peuvent également être mises en avant en faveur du principe contesté. Car bien que cet axiome n'ait jamais était formulé dans un manuel, il a été fréquemment utilisé, avec succès, dans les branches les plus diverses des mathématiques, et particulièrement dans la théorie des ensembles, par Dedekind, Cantor, F. Bernstein, Schoenflies, J. König et d'autres; cette utilisation est un fait indiscutable, qui est simplement confirmé par l'opposition de certains logiciens puristes à un moment ou un autre. Une telle utilisation intensive d'un principe peut être expliquée uniquement par son évidence propre [self-evidence], qui, bien sûr, ne doit pas être confondue avec son caractère démontrable. Peu importe que cette évidence propre soit, dans une certaine mesure, subjective - elle est sûrement à l'origine de principes mathématiques, même si elle n'est pas un instrument des preuves mathématiques; et l'affirmation de Peano (6) selon laquelle elle n'a rien à voir avec les mathématiques échoue à rendre compte de faits indiscutables. Quant à la question qui peut être décidée objectivement, à savoir en quoi le principe est nécessaire pour la science, j'aimerai en laisser juge en présentant un certain nombre de théorèmes tant élémentaires que fondamentaux, ainsi que des problèmes qui, à mon avis, ne peuvent pas du tout être traités sans l'axiome du choix. [Suit une liste de théorèmes qui nécessitent l'axiome du choix.]

A mon avis, Zermelo a raison sur deux points. En premier lieu, il a raison de noter que "l'évidence propre" est assez subjective mais compte malgré tout pour quelque chose. Dans les sciences empiriques aussi, il est faux de penser que l'intuition ne joue absolument aucun rôle. L'intuition est un guide faillible nous a enseigné Francis Bacon, mais un guide faillible est encore mieux que pas de guide du tout. Si notre intuition était complètement indigne de confiance, nous ne pourrions jamais penser à tester une théorie correcte ou approximativement correcte. Désirer que nos axiomes mathématiques soient intuitivement nécessaires est légitime; particulièrement lorsque l'on combine ce souhait avec celui mentionné par Zermelo: formaliser la pratique effective des mathématiciens. Mais il est remarquable que Zermelo décrive comme "objectif" non pas l'"évidence propre" de l'axiome du choix, mais son caractère nécessaire pour la science. A l'heure actuelle, ce n'est pas seulement l'axiome du choix mais l'édifice entier de la théorie des ensembles dont la défense repose sur un immense succès dans les applications mathématiques - en d'autres termes, sur le caractère "nécessaire pour la science". Quel argument autre que de type quasi-empirique pouvons-nous proposer en faveur de l'axiome du Remplacement (****) ? Et les tumultueux débats actuels dans la théorie des Catégories manifestent avec évidence que l'évolution hypothético-déductive et la mise à l'épreuve de nouveaux énoncés d'existence mathématique (de nouveaux "objets"), de nouveaux axiomes et de nouvelles méthodes continuent encore.

L'utilisation de méthodes quasi-empiriques en mathématiques n'est en aucune manière réservée aux tests de nouveaux axiomes ou à des questions "ontologiques". Bien qu'il soit rare que les mathématiciens ou les philosophes en débattent ouvertement, des méthodes quasi-empiriques sont constamment utilisées pour découvrir des vérités ou de supposées vérités que l'on essaie ensuite de prouver rigoureusement. De plus, certains des arguments quasi-empiriques ayant permis de découvrir qu'une proposition mathématique est vraie au premier abord sont complètement convaincants pour les mathématiciens. Considérons, par exemple, la façon dont Euler a découvert que la somme de la série en 1/n2 est p 2/6. Il a procédé par analogie à partir de la factorisation suivante:

P(x) = c0 (1 - x/e 1) (1 - x/e 2) (1 - x/e 3) ... (1 - x/e n)

P(x) est un polynome dont les racines différentes de 0 sont e 1 , ..., e n . Euler a alors "factorisé" sin(p x) en considérant ses "racines" comme les valeurs de x pour lesquelles sin(p x) = 0, c'est-à-dire, x = 0, x = ± 1, x = ± 2, ... Ainsi:

sin(p x) = c0 x (1 - x/1) (1 + x/1) (1 - x/2) (1 + x/2) ...

(Le facteur x est présent parce que 0 est l'une des "racines"). Pour évaluer le terme constant c0, Euler a utilisé la limite suivante:

lim sin(p x) /x = p = c0
x Õ 0

On a ainsi:

sin(p x) =(?!) p x (1 - x2/1) (1 - x2/4) (1 - x2/9) ... ( 1)

Mais d'après le théorème du développement de Taylor:

sin(p x) = (1/1!) p x - (1/3!) p 3 x3 + (1/5!) p 5 x5 ... ( 2)

En identifiant les coefficients de x3 dans les expressions (1) et (2), il vient :

- (1/3!) p 3 = p (-1/1 -1/4 -1/9 ...) ( 3)

Ou:

- p 2 /6 = - å 1/n2 ( 4)

Soit encore :

å 1/n2 = p 2 /6

Euler était bien sûr parfaitement conscient que cela ne constituait pas une démonstration. Mais après que l'on eût calculé la somme de la série en 1/n2 jusqu'à plus de trente décimales - et cette somme correspondait à p 2 /6 -, aucun mathématicien ne doutait que la somme de la série en question soit p 2 /6, bien que cela se passait vingt ans avant qu'Euler n'obtienne une véritable démonstration. La similitude de ce genre d'argument avec une preuve hypothético-déductive dans les sciences empiriques devrait être manifeste: il apparaît intuitivement plausible bien que des analogies certaines ne conduisent pas aux résultats qui sont alors contrôlés "empiriquement". Lorsque de tels contrôles aboutissent, cela renforce alors notre confiance dans l'analogie en question (7) .

Voici un autre exemple de ce genre, choisi cette fois dans les mathématiques contemporaines. De nombreux mathématiciens sont tout à fait convaincus qu'il existe une infinité de "nombres premiers jumeaux" (c'est-à-dire, une infinité de paires de nombres entiers n et n + 2 qui sont tous deux premiers, comme 5 et 7 ou 11 et 13), bien qu'il n'existe aucune démonstration de cette affirmation. L'argument qu'ils jugent convaincant peut être exprimé ainsi: il semble plausible (et en accord avec les données "empiriques") que les "événements" n est premier et n + 2 est premier soient indépendants au sens statistique du terme. Or la fréquence des nombres premiers inférieurs à n est approximativement égale à 1/log n. La fréquence des nombres premiers jumeaux plus petits que n doit donc être asymptotiquement comme (1/log n) 2, ce qui implique qu'il existe une infinité de premiers jumeaux.

Bas van Frassen a affirmé que, d'après mon point de vue, la phrase suivante est une bonne inférence quasi-empirique en mathématiques: les ordinateurs n'ont pas réussi à trouver un contre-exemple à la conjecture de Goldbach, donc la conjecture de Goldbach est vraie (*****) . Il ne s'agit pas bien entendu d'une bonne inférence quasi-empirique. Par ailleurs, je ne prétend pas être capable de donner des règles qui permettent de distinguer les bonnes et les mauvaises inférences quasi-empiriques. Après tout, le problème analogue qui se pose dans la philosophie des sciences empiriques - le problème de la logique inductive - n'a pas trouvé de solution depuis des siècles, et pourtant, on n'a pas abandonné pour cela les sciences empiriques. Toutefois, je peux dire ce qui est erroné dans l'"induction" simpliste selon laquelle la conjecture de Goldbach serait vraie. Ni dans les mathématiques, ni dans les sciences empiriques nous ne croyons que la conclusion d'une simple induction "baconienne" soit exactement et précisément correcte. Une généralisation universelle (un énoncé qui peut être invalidé par un simple "par exemple") ne peut, dans aucune science, être vérifiée par une pure induction baconienne. C'est ce qui différencie la justification "inductive" que nous donnions en faveur de l'existence d'une infinité de nombres premiers jumeaux de l'argument fallacieux concernant la conjecture de Goldbach. Même si les événements n est premier et n + 2 est premier ne sont pas complètement indépendants statistiquement, la conclusion resterait encore correcte. En d'autres termes, la déduction selon laquelle il existe une infinité de nombres premiers jumeaux est "stable selon de petites perturbations des hypothèses". On confirme inductivement un énoncé statistique (8) , et non la généralisation d'une absence d'exceptions; et nous déduisons alors à partir de la vérité approximative de cet énoncé statistique qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. J'ai l'impression que très peu de mathématiciens ne sont pas convaincus par cet argument, même s'il ne s'agit pas là d'une démonstration.

Puisque nous faisons grand usage des méthodes empiriques dans les mathématiques (et nous ne sommes même pas Martiens !), je crois qu'il pourrait être d'un grand intérêt de tenter de systématiser et étudier ces méthodes. Un tel projet est peut être prématuré en l'état actuel de nos connaissances. Un de mes amis mathématiciens, cependant, a suggéré que des modèles de méthodes théoriques pourraient être utilisées, par exemple, pour essayer de convertir des arguments "probabilistes" comme celui sur l'infinité des nombres premiers jumeaux, en véritables démonstrations. [...]

© Cambridge University Press, 1975


Notes de l'auteur [ Pour retourner à l'appel de note, cliquez sur à la fin de la note ]

1 - Je soutiens plus loin que quelques-uns des axiomes des mathématiques sont quasi-empiriques - en particulier l'hypothèse d'une correspondance un à un entre les points de l'espace et des triplets de nombre réels (ou entre les points d'une ligne et les réels) ainsi que l'axiome du choix -; je n'accepte donc pas pour ma part l'affirmation selon laquelle les énoncés démontrés (par exemple, les conséquences de ces hypothèses) soient épistémologiquement a priori. (En fait, je ne pense pas qu'il existe de tels énoncés a priori, à moins que l'expression "a priori" signifie ‘non révisable à l'intérieur d'un cadre théorique particulier caractérisé à la fois par des hypothèses positives et l'existence d'un "espace" d'alternatives théoriques’).

2 - On peut soutenir ici que ce postulat - que l'on doit à Fermat tout autant qu'à Descartes - n'est plus requis dans les mathématiques car nous distinguons maintenant entre l'espace physique et l'espace euclidien abstrait. Les mathématiques s'occupent de ce dernier type d'espace (et d'autres espaces abstraits), pas du premier. Or l'espace euclidien en question peut tout simplement être identifié à l'ensemble des triplets de nombres réels, et ainsi, le Postulat de Correspondance est vrai par définition.
A l'encontre de cette thèse, on pourrait objecter que la géométrie en tant que théorie de l'espace physique (l'espace dans lequel les objets sont situés et se meuvent) était une partie des mathématiques depuis Euclide jusqu'à, approximativement, l'époque de la Dissertation Inaugurale de Riemann. Sans le Postulat de Correspondance, il n'y aurait plus eût aucune raison pour appeler "espace" abstrait l'ensemble des triplets de nombres réels, ou pour identifier quoi que ce soit comme étant une métrique, une ligne ou une courbe. On ne pouvait accepter de parler d'ensembles et de fonctions qu'après que le discours sur les "courbes" ait ouvert le chemin.

3 - Je ne veux pas nier ici qu'il soit important de supprimer les contradictions de nos théories. Je veux dire qu'il n'existe pas une façon unique de procéder à ces éliminations de contradictions au sein d'une quelconque théorie - et en particulier, les définitions réductives ne constituent en aucun cas les seules façons de procéder.

4 - A New Proof of the Possibility of a Well Ordering, repris dans Heijenoort, J. Van, From Frege to Gödel. Cambridge: Harvard University Press, 1967. pp. 183-198.

5 - Ibid. p. 187.

6 - "Additione", Revista de mathematica 8, pp. 143-157; repris dans Peano. G.: Opera Scelte. Roma: 1957. L'affirmation à laquelle Zermelo se réfère est à la page 147.

7 - L'exemple précédant est dû à Polya qui a été un grand protagoniste de l'importance du raisonnement plausible en mathématiques.
[N.d.t.: cf. Polya. G.: Mathematics and Plausible Reasoning, I., Induction and Analogy in Mathematics. Princeton, 1954. Sect. 2.6. L'exemple de la "preuve" par Euler de la convergence vers
p 2 /6 de la série en 1/n2 a également été analysé par Steiner (1975) et Kitcher (1984).
Sur le raisonnement plausible, cf. Lakatos I.: Proofs and Refutations. The logic of mathematical discovery. 1976. Cambridge University Press. Trad. fr. de N. Balacheff et J. M. Laborde: Preuves et réfutations. Essai sur la logique de la découverte mathématique. 1984. Hermann.]

8 - En fait, un raisonnement plus soigneux montre que les événements en question ne peuvent être strictement indépendants, et ainsi, "la seule conjecture raisonnable" [the only reasonable conjecture] - les mots sont d'un théoricien des nombres de renommée mondiale - est que le nombre de nombres premiers jumeaux inférieurs à x "doit" être 1,23... (1/log x) 2. Un autre mathématicien de réputation mondiale décrit cet argument en faveur de l'infinité des nombres premiers jumeaux comme "totalement convaincant" [totally convincing].


Notes du traducteur [ Pour retourner à l'appel de note, cliquez sur à la fin de la note]

* - [N.d.t.: L'article de Putnam est paru en 1975. Appel, Haken et Koch ont démontré le théorème des quatre couleurs en 1976 au terme d'un très long travail de systématisation et de classification de cas examinés durant plus de 1200 heures de calculs d'ordinateur. La preuve n'est donc pas intégralement contrôlable par un être humain et elle suscite toujours nombre de réflexions philosophiques. Thomas Tymoczko par exemple a soutenu que la preuve de ce théorème nous oblige à adopter un point de vue quasi-empirique en mathématiques car il s'agit là "du premier théorème connu de façon a posteriori" (cf. T. Tymoczko: The Four-Color problem and its philosophical significance. In The Journal of Philosophy, vol. 76. N° 2, February 1979, pp. 57-83. Repris dans Tymoczko T. (ed.): New directions in the philosophy of mathematics. 1986. Birkhaüser. pp. 243-266). Putnam n'a pas choisi son exemple au hasard.]

** - [N.d.t.: cf. par exemple La Mathématique non-standard. Histoire - Philosophie - Dossier scientifique. Recueil d'études publiées sous la direction de Hervé Barreau et Jacques Harthong. Editions du C.N.R.S. 1989.]

*** - [N.d.t.: Pour tout ensemble disjoint S d'ensembles non vides donné, il existe un ensemble C formé en prenant exactement un élément dans chacun des éléments de S. (On dit que S est disjoint si deux éléments distincts de S n'ont pas de partie commune).]

**** - [N.d.t.: Etant donné un ensemble A et une relation fonctionnelle f définie sur A, l'ensemble contenant exactement les objets f(x) pour x Î A, existe.]

***** - [N.d.t.: Dans une lettre écrite à Euler en 1742, Goldbach a conjecturé que tout nombre pair plus grand que 4 est somme de deux nombres premiers. Il n'existe actuellement aucune démonstration de cette hypothèse.]

© Cambridge University Press, 1975


Le quasi-empirisme en philosophie des mathématiques
Histoire et philosophie des mathématiques
Bibliographie d'Hilary. Putnam
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