Philosophie et mathématiques : sur le quasi-empirisme AbeBooks.fr - 110 millions de livres neufs, d'occasion, anciens et rares.


Journée d’étude REHSEIS (Recherches Epistémologiques et Historiques sur les Sciences Exactes et les Institutions Scientifiques)

le 23 juin 1998 - Patrick Peccatte

I. La philosophie quasi-empiriste des mathématiques

I.1. Introduction - Définition

La philosophie des mathématiques désigne habituellement ses orientations à l’aide du suffixe -isme qui qualifie, le plus souvent, une école de pensée ou tout au moins un point de vue bien constitué. Platonisme, formalisme, intuitionnisme, constructivisme, logicisme, conventionnalisme, ces grands pôles structurent encore largement le domaine. Le quasi-empirisme ne possède certainement pas leur envergure, et il semble même en retrait dans le paysage de la philosophie contemporaine des mathématiques, en face, par exemple, de la richesse des diverses variantes du constructivisme, du renouveau du nominalisme ou de la multiplicité des points de vue structuralistes.

Mais avant tout et pour fixer les idées, je propose une définition :

Le quasi-empirisme est une orientation de la philosophie des mathématiques datant de la fin des années soixante. Il désigne les mathématiciens, les philosophes et les informaticiens, qui, non seulement placent la pratique de cette discipline au cœur de leur réflexion, mais empruntent également leurs idées essentielles aux sciences empiriques : expérience mathématique, fait mathématique, reconnaissance du rôle fondamental de l’induction, contestation du caractère a priori de la vérité mathématique, faillibilisme, exploration et investigation heuristique systématisées, importance du succès des théories comme critère de leur vérité ou de leur consistance, etc.

Cette orientation épistémologique est souvent considérée comme mineure, et parfois, elle demeure mal comprise. Il existe de multiples raisons à cela ; j’en citerai brièvement trois :

  1. L’ambiguïté manifeste de la terminologie.
    On doit d’abord reconnaître que les auteurs qui se réclament du quasi-empirisme sont très peu nombreux (trois à ma connaissance). Par ailleurs, certains philosophes contemporains sont parfois annexés un peu arbitrairement dans une version élargie du quasi-empirisme sans qu’ils revendiquent eux-mêmes cette orientation, tandis que plusieurs spécialistes des mathématiques expérimentales s’y reconnaissent parfois de manière un peu confuse. Nous reviendrons sur ces points.
  2. Cette orientation est assez éloignée des positions historiquement antérieures et mieux connues comme les trois courants canoniques issus de la crise des fondements. On pourrait dire, avec une pointe d’irrespect, que le quasi-empirisme est arrivé tard et de manière un peu provocatrice sur un "marché" de la philosophie des mathématiques déjà bien établi.
    En marge de ces deux premières raisons, on constate aussi le manque de figures emblématiques ; il n’y a pas ou il n’y a pas eu de Hilbert, de Brouwer ou de Russell du quasi-empirisme.
  3. Enfin, le quasi-empirisme est parfois caricaturé – par exemple comme une conception qui préconiserait d’identifier mathématiques et physique, ou encore comme une ‘philosophie d’ingénieurs’ (locution évidemment péjorative pour une culture philosophique qui reste imprégnée par l’idée de "pureté" des mathématiques).

Mon objectif ici sera d’abord descriptif. Je présenterai le quasi-empirisme et ses auteurs et je tenterai de justifier ainsi la définition que je viens de donner. J’essaierai aussi de préciser les insuffisances évoquées et d’expliquer en quoi l’impact de l’informatique constitue à l’heure actuelle une composante essentielle de cette orientation ; en corollaire, je soutiendrai que cette orientation philosophique demeure bien vivante mais qu’elle doit évoluer et se développer (quitte éventuellement à changer de nom ou à abandonner certaines de ses caractéristiques obsolètes).

Dater le quasi-empirisme de la fin des années soixante mérite explication. Cependant, plusieurs de ses idées essentielles sont déjà présentes dans des textes antérieurs (j’emprunte les citations qui suivent à Imre Lakatos) :

I.2. Citations

De telles opinions sont loin d’être rares. Fraenkel, Gödel, von Neumann, Carnap, Rosser, Church, Bernays, Mostowski, Quine, entre autres, ont exprimé des idées semblables.

Je passe aussi sur les professions de foi ultra-réalistes qui assimilent, par exemple, les mathématiques à la zoologie.

De nombreux auteurs, habituellement considérés comme philosophiquement fort éloignés, reconnaissent donc la légitimité de la comparaison des mathématiques avec les sciences de la nature et tout particulièrement avec la physique. Ils mettent également l’accent sur la pratique de la discipline et sur le rôle majeur de l’induction, avancent le concept d’expérience mathématique, et invoquent certains jugements empiriques concernant la vérité ou la consistance des mathématiques.

Il y a là un ensemble d’idées très répandues dont la philosophie des mathématiques doit tenir compte et qu’elle doit expliquer.

I.3. L’ empirisme en mathématiques et l’ expérience mathématique

I.3.1. Sources historiques

Mais d’où provient l’idée de rapprocher les mathématiques des sciences expérimentales et de reprendre à leur propos des concepts issus de la tradition philosophique empiriste (en particulier l’idée d’expérience) ? L’histoire de l’emploi du terme empirique à propos des mathématiques est à faire, tout comme celle de l’expression expérience mathématique, et je ne peux guère ici que donner quelques indications très fragmentaires :

  I.3.2. Deux contresens à éviter

Lorsque j’ai évoqué les raisons qui font du quasi-empirisme une orientation encore mal perçue, j’ai parlé de caricatures. Sur un mode plus subtil, deux contresens doivent aussi être évités à propos des termes empirisme et expérience mathématique :

  1. Le rapprochement de l’empirisme et des mathématiques ne constitue pas une démarche destinée à ancrer, de manière systématique, la connaissance mathématique dans l’expérience concrète au travers d’une chaîne de concepts et de méthodes qui prendraient racine dans les données des sens (2) . En bref, le quasi-empirisme n’a pas de rapport historique ou conceptuel avec les tentatives de l’empirisme logique viennois qui souhaitait constituer une science unifiée basée sur les sense-data.
  2. Lorsque le quasi-empirisme met l’accent sur l’expérience mathématique, il ne s’agit pas d’un projet destiné à substituer l’idée de vérification expérimentale à la notion de preuve. Autrement dit, même chez les auteurs les plus audacieux, il n’y a pas véritablement d’affaiblissement du sens habituel de la ‘preuve’, ni même de véritable volonté de déstabiliser celle-ci ; on y rencontre plutôt une autre acception de la réalité mathématique, une "re-concrétisation" disent certains qui entraîne que la notion de preuve pose des questions épistémologiques nouvelles. Brièvement là encore, on y débat entre autres du caractère absolu et éternel de la preuve, de son indépendance par rapport au sujet qui l’effectue (humain seul, humain "polycéphale", machine), par rapport à sa complexité ou à sa longueur.

  I.4. Les précurseurs et les fondateurs du quasi-empirisme

Deux articles peuvent être considérés comme précurseurs du quasi-empirisme :

· Körner étudie la relation entre les mathématiques et les sciences mathématisées. Pour lui, la justification empiriste de ces sciences, et particulièrement la justification de la mécanique classique, est inséparable de celle des mathématiques (3) .

Il est assez difficile de déterminer l’influence précise de cet article sur les auteurs qui se réclament du quasi-empirisme car il n’est pratiquement jamais cité. Néanmoins, Körner a probablement influencé - peut-être indirectement - Kalmár et Lakatos puisque lors du congrès de Londres de 1965, il a également donné une communication (On the Relevance of Post-Gödelian Mathematics to Philosophy, pp. 118-132) où il fait allusion à cette conception de la justification empiriste des mathématiques (op. cit. p. 130).

· Le titre du papier de Kalmár reprend un mot de Kreisel publié dans le même volume ; il est significatif du rapport épineux du quasi-empirisme avec la problématique des fondements.

Cet article développe trois idées essentielles : 

  1. La recherche de fondements aux mathématiques a échoué à montrer que cette discipline est une science purement déductive et solidement fondée.
  2. Les axiomes de n’importe quelle branche intéressante des mathématiques ont été originellement abstraits, directement ou indirectement, de faits empiriques, et les règles d’inférences utilisées en mathématiques ont montré leur validité non pas a priori, mais parce qu’elles ont été testées au cours de l’exercice effectif de la pensée.
  3. " La consistance de la plus grande partie de nos systèmes formels est un fait empirique… " (art. cit.).

Kalmár parle explicitement des "soi-disant fondements des mathématiques" (the so-called Foundations of Mathematics). Il évoque aussi la possibilité – assez conjecturale en 1965 - d’employer des ordinateurs pour rechercher des preuves de consistance utilisant des principes trop sophistiqués pour l’esprit humain. Il affirme enfin que la thèse de Church est une thèse empirique.

La discussion sur cette communication a rassemblé ensuite : S.C. Kleene, A. Heyting, Paul Bernays, Y. Bar-Hillel et Imre Lakatos (4) .

L’intervention la plus longue a été celle de Lakatos. Elle est à l’origine de l’article dont nous allons parler maintenant ; il s’agit en effet de l’un des textes de référence du quasi-empirisme.

Trois articles sont fondateurs du quasi-empirisme : 

· Lakatos, pour l’essentiel, était d’accord avec Kalmár. Il a développé ses remarques publiées à la suite du congrès de 1965 dans un article dont il a toujours différé la parution ; ce texte a été publié seulement en 1976, après sa mort (1974). Il est clair que Lakatos n’était pas satisfait de l’état de ce papier. Il avait le projet dans ses dernières années de reprendre et développer en un véritable livre ses idées sur les mathématiques considérées comme une science quasi-empirique (cf. introduction de Luce Giard dans I. Lakatos : Histoire et méthodologie des sciences, PUF, 1994). 

Lakatos distingue deux sortes de théories scientifiques : d’une part les théories euclidiennes, qui sont organisées en systèmes déductifs où l’injection cruciale de la vérité a lieu dans un ensemble d’axiomes et où la vérité circule vers le bas (vers les théorèmes) en inondant l’ensemble du système ; d’autre part les théories quasi-empiriques où le flot important n’est pas la transmission de la vérité mais plutôt la retransmission de la fausseté, depuis certains théorèmes particuliers de la base du système (les "propositions de base"), vers le haut, jusqu’à l’ensemble des axiomes. Les deux types de théories correspondent à deux sortes de méthodologies. La méthodologie des théories euclidiennes consiste en la recherche des axiomes évidents ou tout au moins plausibles. La méthodologie quasi-empiriste à l’inverse est une recherche des hypothèses qui possèdent un fort pouvoir explicatif et une grande puissance heuristique. L’article s’achève sur la recherche des "falsificateurs potentiels" (potentials falsifiers) des théories mathématiques qui sont identifiés, en première approximation, à la contradiction. Puis Lakatos introduit le concept "évasif" (slippery) de "falsificateur heuristique" (heuristic falsifier) dont le but est de suggérer une mise en échec de la théorie :

" Son rôle crucial [dit-il] est de déplacer les problèmes vers d’autres plus importants, de stimuler le développement de l’appareillage théorique. "

On reconnaît bien sûr dans cette description rapide, tout comme dans la thèse soutenue par Lakatos en 1962 et qui donnera naissance à Proofs and Refutations (édité en 1976 ; trad.fr. 1984), l’influence du faillibilisme de Popper (le terme quasi-empirique est d’ailleurs présent dans l’introduction de Proofs and Refutations) (5) .

· Les deux articles de Putnam font partie du tome 1 des Philosophical Papers, intitulé Mathematics, Matter and Method, et publié en 1975. Les principaux thèmes de ce recueil sont les suivants [je cite] : " i) le réalisme, non seulement au regard des objets matériels, mais également pour ce qui est des "universaux" tels que les grandeurs et les champs, et en ce qui concerne la nécessité et la possibilité mathématique […] ; ii) le rejet de l’idée selon laquelle toute vérité est absolument a priori ; iii) le rejet complémentaire de l’idée selon laquelle les énoncés ‘factuels’ sont toujours ‘empiriques’, c’est-à-dire sujets à des tests expérimentaux ou observationnels ; iv) l’opinion selon laquelle les mathématiques ne sont pas une science a priori, et une tentative pour montrer quels sont réellement ses aspects empiriques ou quasi-empiriques, historiquement et méthodologiquement. " (MMM p. vii).

Putnam arrive " à la conclusion que les différences entre les mathématiques et les sciences empiriques ont été largement exagérées. Il existe en mathématiques aussi une interpénétration des hypothèses, des tests quasi-empiriques, et des révolutions conceptuelles qui conduisent à la formation de paradigmes contextuellement a priori. Les mathématiques ne sont pas une science expérimentale ; c’est la première chose que tout philosophe apprend. Cependant, l’adoption de l’axiome du choix comme un nouveau paradigme mathématique était une expérience, même si elle n’a pas été conduite par des hommes en blouse blanche dans un laboratoire. Et des expériences similaires traversent toutes l’histoire des mathématiques. Les mathématiques sont bien sûr beaucoup plus ‘a priori’ que la physique. Mais je pense que l’observation de leurs similitudes rend pour la première fois leurs différences philosophiquement intelligibles. " (MMM p. xi).

Cette dernière phrase est intéressante car ni l’introduction des Philosophical Papers, datée de septembre 1974, ni aucun des deux articles dont nous parlons ne mentionne Lakatos. Inversement, à ma connaissance, Lakatos ne mentionne jamais Putnam. On peut conjecturer, soit qu’ils ignoraient l’un et l’autre leurs convergences philosophiques (c’est tout de même peu plausible ; Quine par exemple, connaissait et appréciait le travail de Lakatos), soit qu’il y ait eu une sorte de désaccord – explicite ou non - concernant cette conception quasi-empirique des mathématiques. Je n’ai pas de renseignements précis sur cette question qui mérite d’être approfondie.

Je donnerai ici un bref résumé du seul What Is Mathematical Truth ? Putnam commence par affirmer dans cet article qu’il défend un point de vue réaliste. Il déplore ensuite que le caractère objectif induit par ce point de vue conduise à l'idée selon laquelle nos connaissances mathématiques sont strictement a priori.

" Cet article prétend au contraire que la connaissance mathématique ressemble à la connaissance empirique, c'est-à-dire, que le critère de la vérité en mathématiques tout comme en physique consiste dans le succès pratique de nos idées, et que la connaissance mathématique est modifiable et n’est pas absolue. "

Putnam poursuit en analysant la notion de preuve et en introduisant l’image des mathématiques martiennes – image qui a rencontré par la suite un certain succès. Il explique ensuite qu’il entend par " "méthodes quasi-empiriques" des méthodes analogues à celles des sciences physiques, à l'exception du fait que les énoncés singuliers "généralisés par induction" ou utilisés pour tester les "théories" [etc.], sont eux-mêmes des produits de preuves ou de calculs plutôt que des "rapports d'observation" au sens habituel. Si, par exemple, nous décidons d'accepter l'hypothèse de Riemann […] parce que des recherches intensives effectuées à l'aide d'ordinateurs n'ont pas réussi à trouver un contre-exemple (et également parce que plusieurs "théorèmes" ont été prouvé avec son aide […] et que les conséquences de l'hypothèse […] sont plausibles et d'une portée considérable, etc.), alors nous pouvons tout aussi bien dire, non que nous avons prouvé l'hypothèse de Riemann, mais que nous l'avons "vérifié" par une méthode quasi-empirique. A l'instar de la vérification empirique, la vérification quasi-empirique est relative et non absolue; ce qui a été "vérifié" à un moment donné peut se révéler ensuite erroné. Mais existe-t-il une raison autre que sociologique pour que les méthodes quasi-empiriques ne puissent pas être utilisées en mathématiques ? ".

Putnam affirme alors que nous avons utilisé des méthodes quasi-empiriques et même empiriques tout au long de l’histoire des mathématiques.

Il aborde ensuite la question méthodologique et affirme que " des méthodes quasi-empiriques sont constamment utilisées pour découvrir des vérités ou de supposées vérités que l'on essaie ensuite de prouver rigoureusement. ". Il reprend ensuite le point de vue développé dans son autre papier Mathematics without foundations et soutient un réalisme modal selon lequel les mathématiques affirment " que certaines choses sont possibles tandis que certaines autres sont impossibles […]. En résumé, les mathématiques sont essentiellement modales plutôt qu'existentielles […] ".

L’article s’achève sur l’importance de la physique pour les mathématiques : " Bien que j'ai prétendu que les mathématiques dépendent d'inférences empiriques et quasi-empiriques, je n'ai pas affirmé dans cet article qu'elles sont une science empirique au plein sens du terme. Le lecteur ne sera pas surpris d'apprendre que j'attends, au fur et à mesure du développement des sciences physiques, que leur impact sur les axiomes mathématiques devienne de plus en plus grand, et que nous devions reconnaître que l'opposition entre "empirique" et "mathématique" soit seulement relative; de manière plus vague et plus indirecte que pour les énoncés "empiriques" habituels, beaucoup d'énoncés mathématiques sont également "empiriques" ".

  I.5. L’anthologie de Thomas Tymoczko

Nous allons examiner maintenant comment cette orientation philosophique somme toute limitée (deux précurseurs et deux auteurs) a été transformée et étendue par Thomas Tymoczko.

Le recueil de Thomas Tymoczko New directions in the philosophy of mathematics. (Birkhäuser, 1986 ; nouvelle édition révisée et augmentée : Princeton University Press, 1998) est une anthologie de textes qui s’échelonnent sur quarante ans (pour la seconde édition : de Pólya 1954 à Thurston 1994) et dont l’auteur revendique l’unité autour du quasi-empirisme (6) .

· Dans la première édition, Tymoczko estime que cette anthologie définit réellement le quasi-empirisme comme [je cite] " une approche cohérente et de plus en plus populaire de la philosophie des mathématiques " (p. xvi). L’expression ‘quasi-empirisme’ possède en effet une acceptation très vaste chez Tymoczko ; il y rattache ainsi un fort contingent d’idées de la philosophie des mathématiques que l’on pourrait regrouper plus vraisemblablement sous d’autres bannières (‘naturalisme’, ‘structuralisme’, etc.). C’est le cas notamment de l’annexion dans son anthologie de Philip Kitcher et Nicholas Goodman, ou de Michael Resnik dans la seconde édition. Le même type de remarque s’applique à un article de René Thom qui dénonce les méfaits de la réforme pédagogique dite des " mathématiques modernes " dans les années soixante-dix. D’autres textes de son anthologie relèvent du courant sociologiste et ethnomathématique et défendent un relativisme modéré.

En ce qui concerne la terminologie proprement dite et le champ d’application du qualificatif ‘quasi-empiriste’, parler des mathématiques comme d’une discipline quasi-empirique (comme le fait Tymoczko à la suite de Lakatos ; Putnam me semble plus prudent en parlant plus modestement de méthodes quasi-empiriques) est déjà statuer très lourdement, et à l’aide d’un concept flou, sur la nature de la discipline, ses objets, ses méthodes, le rapport qu’elle entretient avec les autres sciences, avec les techniques et avec la nature.

· Le terme ‘quasi-empirisme’ possède donc deux sens bien distincts : il qualifie d’une part les articles de Körner, Kalmár , Lakatos et Putnam que l’on vient de mentionner, et qui présentent effectivement une certaine concordance de vue malgré leurs différences manifestes  (7) ; d’autre part, le quasi-empirisme constitue, de la part de Tymoczko, une tentative pour regrouper sous une nomenclature unique - optimiste et assez vague - les nouvelles directions dont il a réalisé l’anthologie.

Tymoczko avait également rédigé avant sa mort en 1996 une postface où le terme quasi-empirisme est très peu présent et semble encore plus imprécis que dans la première édition (8) . Il paraît être en quête à cette époque d’une autre caractérisation de l’unité de ces " nouvelles directions de la philosophie des mathématiques " qu’il qualifie dans cette postface de " mathématiques humanistes (9) .

Je pense que ces indications, et surtout le fait qu’il apparaît difficile de trouver d’autres auteurs que Lakatos et Putnam pour revendiquer explicitement une philosophie quasi-empiriste, montrent que l’entreprise de Tymoczko était largement optimiste.

I.6. Les composantes 

Le choix de Tymoczko et l’introduction de chacun des articles de son anthologie sont certes critiquables, mais ce recueil montre au moins de manière évidente que le quasi-empirisme, même entendu au sens large et vague de son auteur, n’est certainement pas une école constituée, mais plutôt une mouvance, un point de rencontre de plusieurs auteurs et de divers travaux. Je poursuivrai donc en essayant de distinguer les différentes origines et tendances qui constituent ce quasi-empirisme élargi, tout en signalant, le cas échéant, les orientations et les réflexions qui vont dans ce sens et sont néanmoins omises par Tymoczko. On retrouvera bien sûr dans ces composantes une partie du découpage de son anthologie.

I.6.1. La critique des doctrines fondationnalistes

L’anti-fondationnalisme de Tymoczko est une constante (10) . Il intitule une section de son anthologie Challenging Foundations, parle de post-fondationnalisme, et de mythologie fondationnaliste, etc . On retrouve cette caractéristique dans un texte qui date de 1994 (T. Tymoczko. Structuralism and Post-Modernism in the Philosophy of Mathematics, in Mathematics, education and philosophy : an international perspective. Edited by Paul Ernest. Studies in Mathematics Education Vol. 3, The Falmer Press, London, 1994, p. 54) et dans la postface de la seconde édition (1996). Il manque d’ailleurs manifestement une définition du "fondationnalisme" dans le recueil de Tymoczko. Je propose donc celle-ci : le fondationnalisme est l’identification de la philosophie des mathématiques à la question de leurs fondements (11)

La source de la défiance de Tymoczko envers les philosophies fondationnalistes a son origine chez Lakatos et Putnam bien sûr, mais aussi chez Reuben Hersch et Wittgenstein, par exemple.

Cette forte composante anti-fondationnaliste est datée des années soixante-dix, lorsque quelques auteurs ont commencé à attaquer l’idée de l’unité des mathématiques et exprimé des doutes concernant le besoin et la possibilité de fondations .

Il me semble acquis pourtant que la philosophie des mathématiques - et pas seulement le quasi-empirisme – ne réduit plus son champ à la seule question des fondements ; le débat entre fondationnalisme et anti-fondationnalisme, tel qu’il est présenté par Tymoczko, est historique.

Les tendances anti-fondationnalistes contemporaines semblent d’ailleurs peu liées aux critiques des quasi-empiristes "historiques" (Kalmár, Lakatos, Putnam). Elles sont plus le fait d’auteurs comme Hersch (bien que celui-ci s’en défende), au nom d’une conception des mathématiques comme activité sociale, et elles présentent nombre de traits proprement relativistes (12) .

Si le quasi-empirisme veut demeurer une philosophie vivante, il doit évoluer et considérer que cet anti-fondationnalisme est dépassé à une époque où la question des fondements se renouvelle (par exemple grâce à la théorie des catégories) et n’exerce plus véritablement d’hégémonie sur la philosophie des mathématiques.

I.6.2. Le renouveau du courant intuitionniste et constructiviste

Il existe de nombreuse variantes extrêmement actives de ce courant historique. L'article de Jacques Harthong et Georges Reeb, Intuitionnisme 84 (in H. Barreau et J. Harthong eds, La mathématique non-standard. Histoire. Philosophie. Dossier scientifique, pp. 213-252) est significatif d’une version de l’intuitionnisme souvent fort proche du quasi-empirisme ; on y parle par exemple de méthode expérimentale, de propriétés d’observations, de faits, etc.

Les liens du quasi-empirisme (au sens large) et du constructivisme sont manifestes :

" […] le quasi-empirisme constitue la continuation du constructivisme ; tous les deux prennent leur source dans la pratique mathématique. L’une des différences entre les approches tient à ce que le quasi-empirisme conçoit davantage les constructions des mathématiques comme des produits sociaux, tandis que le constructivisme les appréhende en termes plus strictement mathématiques. Cette différence conduit les constructivistes à imposer des contraintes plus fortes sur le raisonnement mathématique que ne le fait le quasi-empirisme qui est plus tolérant à l'égard des diverses pratiques. [...] " (Tymoczko, op. cit. p. xvi).

Pourtant, malgré cette parenté reconnue et revendiquée, aucun des textes retenus dans le livre de Tymoczko ne se réclame explicitement du constructivisme.

I.6.3. L’examen des mathématiques en tant que pratique

Examen qui conduit à réexaminer les exemples traditionnels sur lesquels se base la philosophie des mathématiques (d’après Tymoczko, introduction). Plusieurs articles de son anthologie relèvent de cette composante.

Cependant, la pratique mathématique moderne est surtout modifiée par l'immense place prise par les mathématiques appliquées à tel point que " certains mathématiciens américains n’hésitent pas à affirmer aujourd’hui, face à l’extraordinaire élargissement du champ d’intervention des mathématiques, que les mathématiques pures ne sont plus qu’un sous-domaine restreint des mathématiques appliquées, à savoir ce que l’on peut formaliser et rendre rigoureux " (Amy Dahan-Dalmedico, L’essor des mathématiques appliquées aux Etats-Unis : l’impact de la seconde guerre mondiale. Revue d’Histoire des Mathématiques. Tome 2, fascicule 2, 149-213. 1996, p. 152).

On s’étonne donc, dans ce mouvement qui met l’accent sur la pratique des mathématiques, de l’absence d’intérêt véritable pour les mathématiques appliquées. C’est d’ailleurs presque une tare congénitale de la philosophie des mathématiques qui évolue la plupart du temps dans un monde sans technique ; je pense en effet que la question traditionnelle de l’applicabilité des mathématiques ne se substitue pas à l’intérêt que doit nécessairement avoir la philosophie envers les mathématiques appliquées.

On note de la même manière que la physique théorique est absente de l’anthologie de Tymoczko alors que l’émergence de théories sophistiquées non testables a conduit à développer dans ce domaine la pratique des expérimentations théoriques.

En ce qui concerne ces deux dernières critiques, Tymoczko corrige un peu le tir dans sa postface de 1996 en évoquant très brièvement les mathématiques appliquées et les méthodes mathématiques avancées en physique (op. cit., p. 395), mais aucun article nouveau ne reprend ces thèmes.

I.6.4. L’introduction de l’informatique dans l'activité mathématique

Les démonstrations "assistées" par ordinateurs et la théorie algorithmique de l’information sont les deux seuls sujets abordés dans la section Computers and Mathematical Practice du livre de Tymoczko.

Je reviendrai plus en détail tout à l’heure sur l’impact de l’informatique sur les mathématiques qui dépasse largement ces deux exemples.

I.7. La situation actuelle du quasi-empirisme : entre le naturalisme et l’informatique

Le quasi-empirisme au sens strict, c’est-à-dire lorsqu’on se restreint aux auteurs qui revendiquent l’expression, semble limité à trois auteurs ; deux sont morts (Lakatos et Tymoczko) et le troisième, apparemment, ne s’intéresse plus directement à la philosophie des mathématiques. J’ai soutenu par ailleurs que nombre des textes retenus par Tymoczko comme représentatifs de ces " nouvelles directions " regroupées sous la caractéristique du quasi-empirisme manifestent en fait des opinions naturalistes ou structuralistes (ou autres) qui ne sont pas expressément revendiquées sous cette appellation par leurs auteurs respectifs. L’origine de cette extension du quasi-empirisme selon Tymoczko est probablement à rechercher dans l’influence de Quine sur la philosophie américaine. Putnam déjà s’inspirait du structuralisme ou du holisme de Quine (le fameux " exister, c’est exister au sein d’une structure ") en le modifiant. De plus, Quine est inévitable quand on compare les mathématiques aux autres sciences. Le holisme de Quine est aussi à l’origine du structuralisme réaliste (les patterns) de Resnik [dont un article est repris dans Tymoczko, 2nd édition] et des conceptions d’autres auteurs (13) . Et c’est l’exigence empiriste de la philosophie de Quine ainsi que sa conception d’une épistémologie naturalisée - deux conceptions profondément influentes en philosophie des sciences - qui ont pu permettre le rapprochement avec le quasi-empirisme de Lakatos et Putnam et l’annexion effectuée par Tymoczko (v. aussi Nicholas Goodman analysé par Koetsier, op. cit., p. 286).

On pourrait donc croire que cette orientation de la philosophie des mathématiques a été un feu de paille. J’estime en fait que le centre de gravité du quasi-empirisme (mais doit-on conserver ce terme ?) se situe désormais du côté des relations désormais fort complexes et variées des mathématiques avec l’informatique. Le quasi-empirisme, même si l’expression n’est plus véritablement utilisée (parce que trop philosophique ?) est poursuivi actuellement par des mathématiciens-informaticiens moins exigeants et moins avertis du point de vue philosophique que les créateurs du quasi-empirisme.

I.8. Informatique et mathématiques

On connaît l’importance des liens tissés entre l’informatique théorique et la logique, et tout particulièrement avec la théorie de la démonstration (14) . L’étude de ces liens mériterait d’ailleurs d’être envisagée du point de vue quasi-empiriste (notamment en ce qui concerne la correspondance entre les notions de démonstration et de programme). Mais l’introduction de l’informatique dans le champ mathématique et dans l’activité propre du mathématicien est maintenant devenue cruciale pour une orientation quasi-empiriste ; nous allons l’examiner à propos de quatre exemples (seuls les deux premiers sont abordés dans l’anthologie de Tymoczko).

I.8.1. Les démonstrations "assistées" par ordinateurs

· Les démonstrations "assistées" par ordinateurs de certains théorèmes constituent l’exemple le plus connu des relations qu’entretiennent désormais les mathématiques et l’informatique ; pour Tymoczko, il s’agit même du haut de l’iceberg quasi-empiriste (postface, p. 394). Son archétype, la démonstration du théorème des quatre couleurs (4CT), a été améliorée depuis 1976 (Appel, Haken et Koch) mais elle nécessite toujours d’être achevée sur ordinateur (15) . La démonstration est considérée comme acquise et incontestable par la communauté mathématique (ce qui ne veux pas dire qu’elle soit complètement satisfaisante pour tout le monde). Et d’ailleurs, selon certains, les doutes soulevés il y a vingt ans concernant la validité des démonstrations par ordinateur n’existent plus et ils n’hésitent pas à prendre le contre-pied de cette "vieille" réticence. Selon eux, les théorèmes démontrés à l’aide d’ordinateurs le sont d’une manière plus précise que ceux qui sont démontrés "à la main". Cette opinion repose en grande partie sur la comparaison des formalismes et des pratiques effectives en mathématiques et en informatique. Comme le dit William Thurston : " les mathématiques, telles que nous les pratiquons, sont beaucoup plus achevées formellement et bien plus précises que les autres sciences, mais au regard de leur contenu, elles le sont bien moins que les programmes informatiques " (Thurston, in Tymoczko, p. 347).

 · La démonstration originale du 4CT a été analysée par Tymoczko dont l’article est reproduit dans son anthologie. Tymoczko propose dans ce papier de considérer que le 4CT constitue le premier résultat mathématique connu de façon a posteriori.

Il existe maintenant une véritable petite littérature philosophique sur le sujet (cf. par ex. Krakowski 1980, Swart 1980, Alcolea-Banegas 1991, Kainen 1993).

· D’autres théorèmes exigent l’aide d’ordinateurs au cours de leur démonstration.

On peut citer, pour les plus connus :

 Jonathan Borwein (Virtual Mathematics, p. 28) mentionne un théorème de géométrie projective qui a demandé plusieurs années de calculs intensifs (l’équivalent de 2000 heures sur un Cray-1, Clement Lam 1989).

· D’un point de vue quasi-empiriste, ces résultats sont à mettre en rapport également avec les démonstrations ‘pharaoniques’ acquises de façon classique (la classification des groupes simples finis en est le prototype avec ses 15000 pages, dont certaines parties, d’ailleurs, sont établies à l’aide d’ordinateurs) et avec des résultats établis à partir du théorème de Gödel comme le théorème de Spencer (1983) : " il existe des théorèmes courts ayant des démonstrations arbitrairement longues " (cité par Doron Zeilberger, p. 2).

 I.8.2. la théorie algorithmique de l’information et l’"exhibition" d’objets mathématiques complexes

Gregory Chaitin a développé, indépendamment de Kolmogorov, la théorie algorithmique de l’information. Grâce à la notion de probabilité d’arrêt d’un programme, Chaitin a pu construire, il y a 20 ans, un nombre qu’il appelle Oméga. Ce nombre est algorithmiquement incompressible ; si l’on cherche à produire les N premiers bits de Oméga à l’aide d’un ordinateur, si l’on souhaite concevoir un programme qui imprime les N premiers bits de Oméga et ensuite s’arrête, ce programme devra avoir une longueur de N bits.

Deux textes de Chaitin sont publiés dans l’anthologie de Tymoczko sur cette question. Mais depuis, celui-ci a pu construire à partir de ce nombre une équation diophantienne exponentielle possédant un paramètre (l’expression "équation diophantienne exponentielle" signifie que les variables peuvent être des exposants). La résolution de l’équation obtenue, qui tient sur 200 pages, est donc complètement indécidable parce que Oméga possède une information mathématique irréductible.

Comme le dit Chaitin : " La perte complète de structure du nombre Oméga, l’information mathématique aléatoire et irréductible de ce nombre se retrouvent donc jusque dans l’arithmétique. Le raisonnement est totalement sans pouvoir dans ces régions de l’arithmétique. […] Voilà donc pourquoi j’affirme qu’il y a du hasard dans la théorie élémentaire des nombres. " (The Limits of Mathematics, Singapore : Springer, 1998, p. 21).

I.8.3. La théorie algorithmique de la preuve

Wilf et Zeilberger ont développé une théorie permettant de fournir des preuves générées par ordinateur pour une vaste classe d’identités. La théorie algorithmique de la preuve transforme la question de la démonstration d’une identité en un problème de résolution d’un système d’équations linéaires ; et ce type de problème est beaucoup plus facile à résoudre informatiquement (une démonstration - ou une réfutation - devient alors un computer-oriented problem).

La technique utilisée est celle du creative telescoping qui consiste à rechercher des expressions partielles qui sont égales à zéro (voir un exemple très simple dans J. Borwein et al., Experimental Mathematics : A Discussion, p. 9).

Les mathématiques elles-mêmes, dans ce qui constitue leur substance, la preuve, se retrouvent alors encapsulées : la preuve d’une identité devient une ‘boite noire’ analogue à la façon dont un ordinateur multiplie deux nombres ou inverse une matrice. En conséquence, " la théorie fournit véritablement une méta-connaissance sur la façon de prouver une grande classe d’identités. Mais malheureusement, bien qu’elles soient compréhensibles par la plupart des mathématiciens, ces démonstrations sont sans intérêt mathématique véritable ". (art. cit.).

A partir de ses travaux sur la théorie algorithmique de la preuve, Zeilberger a développé son point de vue dans un article qui a fait quelque bruit : Theorems for a Price : Tomorrow’s Semi-Rigourous Mathematical Culture, Notices of the American Mathematical Society, 40, n° 8, 978-981, 1993.

L’idée de base est simple : le fait de réduire certaines démonstrations d’identités à la résolution de systèmes d’équations linaires entraîne un comportement similaire à celui du physicien ; si le système en question est trop difficile à résoudre ou consomme trop de temps machine ou de mémoire, pourquoi ne pas essayer de le résoudre de façon approchée ? Cela nous donnera tout de même une bonne approximation concernant la vérité de l’identité examinée. Comme le dit Zeilberger :

" Maintenant que de très grandes classes d’identités, et peut-être même d’autres familles de théorèmes, deviennent démontrables de façon routinière, nous pourrions voir apparaître de nombreux résultats pour lesquels nous devrions, en principe, savoir comment obtenir une démonstration (ou une réfutation) tout en étant incapable ou peu désireux de payer pour trouver de telles preuves, puisque la ‘presque certitude’ pourrait être achetée pour bien moins cher. Je peux prédire l’abstract d’un article, aux environs de l’année 2100, où l’on pourrait lire : " Nous montrons, dans un certain sens précis, que la conjecture de Goldbach est vraie avec une probabilité plus grande que 0.99999 et que la démonstration complète pourrait être déterminée avec un budget de 10 milliards de dollars. " (art. cit. p. 6).

Zeilberger termine son article en proposant l’idée de mathématiques semi-rigoureuses :

" Puisque la vérité absolue devient de plus en plus chère, nous devrions, à plus ou moins long terme, en venir à comprendre que peu de résultats non triviaux peuvent être connus avec une certitude à l’ancienne mode (old-fashioned certainty). Plus vraisemblablement, nous finirons par abandonner tout compte fait toute mention du prix, et nous achèverons la métamorphose des mathématiques en une discipline semi-rigoureuse. "

I.8.4. Les mathématiques expérimentales

· Les mathématiques expérimentales sont apparues dans les années soixante-dix avec le développement de l’informatique.

Je cite Jonathan Borwein : " nous assistons [actuellement] à un regain de l’expérimentation en mathématiques, et même à une ‘re-expérimentalisation’ radicale des mathématiques [le néologisme est de Borwein]. Avec les progrès du matériel, du logiciel et de la théorie, l’ordinateur joue maintenant un rôle d’outil de laboratoire dans les mathématiques pures et appliquées ; un rôle qui était tenu au 18ème et au 19ème siècles par les sciences physiques. Au cours de ce développement, le statut de la preuve mathématique, connu depuis Euclide, est réévalué et la discipline entre dans une phase beaucoup plus inductive et pseudo-empirique " (J. Borwein, Virtual Mathematics, p. 2).

Tous les mathématiciens-informaticiens s’accordent sur ce fait : l’ordinateur est devenu un véritable outil du mathématicien (16) . Et c’est un outil de découverte et de création ; les mathématiques ne peuvent plus être considérées comme le seul produit de la " pensée pure " des mathématiciens.

Je cite à nouveau Borwein : " L’ordinateur nous a donné la possibilité d’observer de vastes mondes, nouveaux et inimaginables précédemment. Il a créé des mondes mathématiques qui seraient restés inaccessibles à l’esprit humain sans son aide. Cependant, cet accès nouveau a un prix ; beaucoup de ces mondes, à l’heure actuelle, peuvent être connus uniquement de manière expérimentale. " (J. Borwein, P. Borwein, R. Girgensohn, S. Parnes, Experimental Mathematics : A Discussion, 1995).

· Jonathan Borwein dirige, avec son frère Peter, le CECM (Centre for Experimental and Constructive Mathematics) , du Département de Mathématiques et de Statistiques de l'Université Simon Fraser (Burnaby Campus, British Columbia, Canada). Cet institut est probablement le plus important centre de recherche dédié aux mathématiques expérimentales.
Il compte déjà de nombreux travaux, dont la découverte spectaculaire, en 1995, de la formule de Bailey, Borwein et Plouffe qui permet de calculer les décimales du nombre p , exprimées en binaire, sans connaître les décimales précédentes :

Cette formule a été véritablement découverte lors d’un programme systématique de recherche de nouvelles identités concernant le nombre p . Sa démonstration est par ailleurs tout à fait classique.

Parmi les autres réalisations du CECM, on peut citer l’Inverse Symbolic Calculator qui permet de fournir, pour un nombre donné en entrée, les expressions probables qui permettent de générer ce nombre (" donnez-lui un nombre, nous essaierons de vous dire ce qu’il est "). Les mathématiques expérimentales ont développé d’autres outils de ce genre, tel par exemple l’Encyclopaedia of Integer Sequences ; elles utilisent également des programmes de calcul symbolique sophistiqués et des méthodes heuristiques de rapprochement. L’ensemble de ces outils et de ces méthodes permettent d’effectuer une sorte de reverse-engineering en arithmétique, c’est-à-dire de retrouver ou de postuler des identités à partir de résultats essentiellement numériques.

· Depuis 1992, les mathématiques expérimentales possèdent leur revue :  Experimental mathematics (Kluwer) (17) .
Ce journal est destiné à publier " des résultats inspirés par l’expérimentation, des conjectures suggérées par des expériences, des recherches dans différentes branches des mathématiques développées selon le point de vue expérimental, et enfin, des descriptions d’algorithmes et de logiciels dédiés à l’exploration mathématique […] " (Extrait de la présentation du journal). En effet, poursuit le comité éditorial, " bien que nous apprécions la méthode d’exposition du type ‘théorème/démonstration’, et bien que nous ne nous écartons pas de la vue habituelle selon laquelle un résultat peut prendre sa place dans la connaissance mathématique uniquement lorsqu’il est établi à l’aide d’une preuve logique, nous considérons qu’il est anormal qu’une partie importante du processus de la création en mathématiques soit soustraite à la discussion publique […]. Experimental Mathematics a donc été créé avec la conviction que la théorie et l’expérience s’alimentent l’une et l’autre, et selon l’idée que la communauté mathématique doit bénéficier d’une exposition plus complète du processus expérimental. Le fait de partager tôt une recherche augmente la possibilité que celle-ci se concrétise par des théorèmes ; une conjecture intéressante est souvent formulée par un chercheur auquel il manque les techniques qui permettraient de formaliser une preuve, tandis que ceux qui possèdent ces techniques cherchent parfois ailleurs. Même quand une seule personne possède l’inspiration initiale et mène à bien une preuve, une discussion sur son processus heuristique peut être utile, ou tout au moins intéressante, pour les autres chercheurs. Ce n’est pas seulement la découverte elle-même qui a de la valeur, mais également le chemin qui conduit à cette découverte " (18) .

· Il est clair, je pense, que les multiples impacts de l’informatique sur les mathématiques et les relations profondes qui unissent désormais ces deux disciplines au niveau théorique devraient stimuler un renouveau de la conception quasi-empiriste des mathématiques, qui, sous cette terminologie, ne paraît plus guère avoir de protagonistes ; on parle plus volontiers chez les informaticiens de "pseudo-empirisme", de "presque certitude" de "mathématiques semi-rigoureuses" et surtout d’expérience mathématique. Il est remarquable à cet égard que Lakatos soit souvent mentionné par les mathématiciens-informaticiens. Les trois plus connus, Chaitin, Zeilberger et Borwein le citent volontiers, et de fait, Lakatos semble jouer pour beaucoup de mathématiciens-informaticiens, le rôle que Popper a joué et joue encore auprès de nombreux scientifiques – et particulièrement auprès des physiciens qui s’y reconnaissent assez spontanément.

A vrai dire, les professions de foi des mathématiciens-informaticiens sont souvent un peu provocatrices et ne s’embarrassent pas de subtilités philosophiques ; elles restent bien souvent limitées à une argumentation assez simple, de type utilitariste. Chaitin pense ainsi que " la théorie élémentaire des nombres ainsi que toutes les mathématiques devraient être davantage pratiquées dans l’esprit des sciences expérimentales, et que l’on devrait être prêt à adopter de nouveaux principes. [Il] estime que la proposition d’Euclide selon laquelle un axiome est une vérité en-soi est une grave erreur. L’équation de Schrödinger n’est sûrement pas une vérité évidente en-soi ! Et l’hypothèse de Riemann n’est pas évidente non plus, mais elle est par contre très utile " (op. cit., p. 24). L’acceptation de l’hypothèse de Riemann comme une nouvelle vérité mathématique, comme un nouvel axiome même, est fortement suggérée ici. Mais cette dialectique, qui met sur le même plan une hypothèse physique générique et une conjecture mathématique, pose évidemment un problème épistémologique redoutable dont certains ont pu s’émouvoir ; ce genre de propos a pu ainsi alimenter les caricatures que nous avons relevé : assimilation des mathématiques à la physique (certains parlent plus judicieusement d’ultra-physique), laxisme dans la conception de la preuve, et inspiré le sobriquet de ‘philosophie d’ingénieurs’. De ce point de vue, on peut estimer que le quasi-empirisme des années soixante-dix, défendu pourtant par des philosophes des sciences majeurs, n’a pas eu le prolongement philosophique que méritait l’impact de l’informatique sur les mathématiques (19) .


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1 - Emile Borel dans un texte de janvier 1926 (Note VII " Pour et contre la logique empirique ", in Revue de Métaphysique et de Morale) fait allusion à ce dialogue. Dans un échange avec Jacques Hadamard dans les années 1912-1914, tous deux ont employés les termes empirique et empirisme en opposition à l’idéalisme. Borel encore, dans les Leçons sur la théorie des fonctions (4ième édition, 1950, note IV p. 169, 172) qualifie la position qu’il adopte d’ " empiriste ou réaliste ", toujours en opposition à l’idéalisme.

2 - Même chez Kalm á r (cf. infra), la reconnaissance de l’origine empirique des concepts majeurs des mathématiques n’a pas l’ambition de constituer un projet refondateur ou reconstructeur.

3 - Son article développe trois points essentiels :

  1. Une critique de la justification déductiviste orthodoxe où les mathématiques sont considérées comme un instrument permettant la déduction de conclusions empiriques à partir de prémisses empiriques.
  2. Les théories scientifiques mathématisées fonctionnent et sont justifiées en même temps que leur infrastructure mathématique comme des constituants syncatégorématiques (syncatégorématique = qui ne peut être dit seul) des propositions empiriques.
  3. Cette conception n’est pas seulement incompatible avec la justification déductiviste des mathématiques ; d’autres justifications classiques des mathématiques en termes d’ontologies ‘platonistes’ ou ‘nominalistes’ doivent également être sérieusement revues.

4 - A. Heyting estimait que la conception expérimentale des mathématiques de H. Weyl va plus loin que celle de Kalmár.
- Paul Bernays évoque George Pólya et les "expériences mentales" ; pour Bernays, les mathématiques sont une science empirique à la seule condition que l’on étende le sens du terme empirique aux "expériences mentales".
- Y. Bar-Hillel s’est opposé fermement à la vision de Kalmár, jugeant par exemple que son opinion sur l’utilisation des ordinateurs est " frivole " ou " inintelligible ".

5 - Teun Koetsier distingue deux périodes dans l’œuvre de Lakatos : la période de la méthodologie des preuves et réfutations (MP&R) dominée par la thèse de la faillibilité, et celle de la méthodologie des programmes de recherche scientifique (MSRP) dominée par la thèse de la rationalité. L’article sur le quasi-empirisme appartient à la première période et rencontre à propos des mathématiques certains problèmes que la MSRP est censée résoudre ; en particulier, on ne distingue pas bien, en mathématiques, ce qui pourrait être l’analogue des faits empiriques des sciences physiques (T. Koetsier, Lakatos’ Philosophy of Mathematics : A Historical Approach, Amsterdam : North Holland, 1991, p. 69). Koetsier, enfin, propose d’interpréter l’article en question comme défendant une thèse faillibiliste faible.
A lire aussi sur ce Web : l'introduction du livre de Teun Koetsier
Lakatos' Philosophy of Mathematics, A Historical Approach ,

6 - La structure et les choix de cette anthologie méritent que l’on s’y arrête. On remarque d’abord que la grande majorité des auteurs retenus sont américains :

Initialement, le livre devait comporter une troisième partie sur les récents développements en logique mathématique et leurs implications philosophiques. Cette partie n’a jamais vu le jour. La seconde édition y ajoute trois textes qui analysent plus spécifiquement la nature des preuves mathématiques.

7 - Körner par exemple ne s’intéresse qu’à la justification simultanée des mathématiques et des sciences mathématisées et n’utilise pas l’expression ‘quasi-empirisme’ ; il en est de même de Kalmár qui élargit pourtant le champ vers la question des fondements et celle de la consistance ; Lakatos quand à lui développe une philosophie faillibiliste qui lui et propre, et Putnam est le seul à lier le quasi-empirisme à une conception modale et à évoquer l’importance de la physique théorique pour les fondements des mathématiques.

8 - cf. pp. 393-394, où il fait allusion à des méthodes quasi-empiriques qui seraient refusées par Maddy comme par la majeure partie des mathématiciens tout en parlant du quasi-empirisme de Maddy.

9 - L’éditeur, lui, sacrifie à la mode en qualifiant ce livre d’ " opinion postmoderne " sur la philosophie des mathématiques alors que ce qualificatif n’apparaît, à ma connaissance, dans aucun des textes de l’anthologie.

10 - " Si l’on examine les mathématiques sans idées préconçues, de nombreuses caractéristiques apparaissent qui étaient ignorées par les fondationnalistes : les preuves informelles, les développements historiques, la possibilité de l’erreur en mathématiques, les explications mathématiques (à distinguer des preuves), la communication entre les mathématiciens, l’utilisation des ordinateurs dans les mathématiques modernes, et bien d’autres choses. Les fondationnalistes ignoraient ces traits parce qu’ils interprétaient la pratique réelle en termes de fondations. Pour eux, l’activité des mathématiques était essentiellement réduite à la découverte de vérités à propos des ensembles, à la vérification de preuves formelles, ou à d’autres caractéristiques fondationnelles. Tout le reste relevait d’une superstructure sans intérêt. En dehors de la mythologie fondationnaliste, cependant, il n’existe aucune justification au fait que la philosophie continue à ignorer la pratique véritable des mathématiques. C’est véritablement cette pratique qui pourrait fournir à la philosophie des mathématiques ses problèmes et les éléments de leurs solutions.[...] " (op. cit. p. xvi).

11 - Au passage, je signale que je préfère le terme fondationnalisme - dérivé de l’anglais - alors qu’en français, on parle plus souvent de fondements que de fondations des mathématiques. Jean-Yves Girard parle bien de fondamentalisme dans certains de ses articles (cf. par exemple : Du pourquoi au comment : la théorie de la démonstration de 1950 à nos jours; disponible en FTP ), mais le terme ne me semble pas très heureux.

12 - Le rapport entre l’attitude fondationnaliste et les points de vues anti-fondationnalistes divers (essentiellement chez Tymoczko et chez Hersch) constitue d’ailleurs le premier sujet retenu dans la liste de diffusion Foundations of Mathematics de Stephen G. Simpson et Harvey Friedmann ; on y trouve bien quelques interventions qui mentionnent Putnam, Lakatos, et Tymoczko, et Martin Davis y a qualifié l’anti-fondationnalisme d’industry, mais ce sujet paraît tout de même assez peu débattu.

13 - Certains parlent, de manière moins révérencieuse, de " vieux Quine dans de nouvelles bouteilles ".

14 - voir par exemple : Pierre Wagner : La machine en logique, Paris : PUF, 1998.

15 - voir par exemple : Jensen Tommy R. and Toft Bjarne : Graph coloring problems. Wiley Interscience Publication. New-York : John Wiley and Sons, 1995 ; Paul Seymour, Progress on the Four-Color Theorem, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zürich, 1994, pp. 183-195
Voir également la
bibliographie .

16 - " L’ordinateur a déjà commencé à faire pour les mathématiques ce que le télescope et le microscope ont réalisé pour l’astronomie et la biologie " (Zeilberger, art. cit., p. 1). Tymoczko utilise la même image (art. cit. p. xvi).
De la même manière, Chaitin estime que " ce n'est ni Gödel, ni Turing, ni [ses] propres résultats qui ont conduit les mathématiques dans une direction expérimentale, une orientation quasi-empirique. La raison pour laquelle les mathématiciens ont changé leurs habitudes de travail s'appelle l'ordinateur. C'est une excellente plaisanterie ! Il est également amusant de constater que des trois anciennes écoles de philosophie mathématique - logiciste, formaliste et intuitionniste -, la plus négligée ait été celle de Brouwer qui avait défendu une attitude constructiviste bien des années avant que l'ordinateur ne donne une impulsion fantastique au constructivisme. " (op. cit. p. 26).

17 - La définition initiale des mathématiques expérimentales selon ce journal mérite d’être citée :
" Le mot ‘expérimental’ est conçu de manière large ; beaucoup d’expériences mathématiques sont réalisées de nos jours à l’aide d’ordinateurs, tandis que d’autres sont le résultat d’un travail effectué à l’aide du papier et du crayon ; enfin, il existe d’autres types d’expériences comme la construction de modèles physiques ".
Jonathan Borwein et al. (art. cit.) estiment à juste titre qu’une telle définition permet de concevoir presque toutes les mathématiques comme une discipline expérimentale.

18 - On peut citer aussi The Ramanujan Journal (Kluwer) qui existe depuis janvier 1997 et couvre les branches des mathématiques influencées par Ramanujan .

19 - A l’exception peut-être du travail de Michael Resnik dans Computation and Mathematical Empiricism, Philosophical Topics, 17 (2), pp. 129-144, Automne 1989 (je n’ai pu consulter cet article lors de la préparation de cet exposé).

Jonathan Borwein apparaît pourtant comme un auteur plus mesuré et plus soucieux de précisions épistémologiques. Il écrit d’ailleurs, en parlant de Zeilberger et de Chaitin : " il est probablement regrettable mais peut-être nécessaire que les deux voix les plus importantes en faveur de véritables mathématiques expérimentales soient également les plus excessives " (art. cit. p. 11). Borwein s’est inspiré de Peter Medawar pour proposer une typologie des méthodes expérimentales utilisables en mathématiques. Il distingue ainsi quatre types d’expérimentations :

  1. kantienne : le remplacement de l’axiome des parallèles d’Euclide par un autre a conduit à la découverte des géométries non-euclidiennes. En fait, toutes les mathématiques pourraient être considérées comme le produit d’expérimentations kantiennes.
  2. baconienne : la plupart des recherches décrites comme expérimentales dans les sciences physiques ou naturelles sont par nature baconiennes. Pour Borwein, les démarches mathématiques qui procèdent par affaiblissement de conditions imposées ou l’application d’arguments probabilistes en théorie des nombres peuvent être considérées comme des expérimentations baconiennes.
  3. aristotélicienne : il s’agit de démonstrations et de particularisations où les résultats sont produits pour illustrer un théorème et non pour le découvrir ou le modifier. Cela n’a pas grand chose à voir avec les mathématiques proprement dites, mais relève plutôt de la pédagogie. Les expérimentations aristotéliciennes sont équivalentes aux exemples concrets utilisés pour expliquer les définitions ou les théorèmes.
  4. galiléenne : il s’agit d’expérimentations critiques dont le but est de trancher entre différentes possibilités : soit conforter le point de vue examiné, soit nous amener à penser qu’il doit être corrigé. Pour Borwein, l’expérimentation galiléenne est la plus importante des quatre. Il affirme que les mathématiques ont largement utilisé les trois premières formes d’expérimentations, mais ont souvent évité le modèle galiléen. L’ambition des mathématiques expérimentales est de tenter d’adhérer autant qu’il est possible au modèle galiléen afin, dit-il, que " les démonstrations, les expérimentations, l’introspection, le calcul, la probabilité et la certitude cohabitent dans des rapports divers. " (id. p. 39).

  Livres sur l'empirisme

PI and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity de Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein

Quasi-empirisme : Bibliographie et sources sur le Web
Liens mathématiques en relation indirecte avec le quasi-empirisme
Histoire et philosophie des mathématiques
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