Le paradoxe de Russell

« Le paradoxe de Russell (1902) se rapporte à l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément. Soit S cet ensemble. Supposons que

(a) S se contienne lui-même.

Alors, en vertu de la définition de S, S ne se contient pas lui-même. Donc par réduction à l'absurde (c'est-à-dire en réfutant l'hypothèse (a)), nous avons démontré :

(b) S ne se contient pas lui-même.

D'où, d'après la définition de S :

(c) S se contient lui-même.

La conjonction de (b) et de (c) constitue une contradiction démontrée, c'est-à-dire un paradoxe. »
(Stephen C. Kleene : Logique mathématique, trad. fr. par Jean Largeault. Paris: Armand Colin, 1971, p. 194).

Bertrand Russell a donné en 1919 une version imagée de son paradoxe : si un barbier rase exactement tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes, se rase-t-il lui même ? Il existe d'autres versions de ce paradoxe. Lorsque, par exemple, on établit dans une bibliothèque le catalogue de tous les catalogues qui ne se recensent pas eux-mêmes, doit-on y inclure le catalogue en question ?

Voici une autre illustration du paradoxe de Russell.

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